5 варіант
Завдання 1
1. Адміністрація страхової компанії ухвалила рішення про введення нового виду послуг - страхування на випадок пожежі. З метою визначення тарифів по вибірці з 10 випадків пожеж аналізується залежність вартості збитку, нанесеного пожежею від відстані до найближчої пожежної станції:
№ п/п1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.
Загальна сума збитку, млн.руб.26, 217,831,323,127,536,014,122,319,631,3
Відстань до найближчої станції, км3, 41,84,62,33,15,50,73,02,64,3
Побудувати поле кореляції результату і фактора
Поле кореляції результату (загальна сума збитку) і фактора (відстань до найближчої пожежної станції).
На підставі поля кореляції можна зробити висновок, що між факторний (Х) і результативним (Y) ознаками існує пряма залежність.
2. Визначити параметри а та b рівняння парної лінійної регресії:
де n кількість спостережень у сукупності (у нашому випадку 10)
a і b шукані параметри
x і y фактичні значення факторного та результативного ознак.
Для визначення сум складемо розрахункову таблицю з п'яти граф, у графі 6 дамо вирівняні значення y (?).< br />
У графах 7,8,9 розрахуємо суми, які використані у формулах пунктів 4,5 даної задачі.
№ XYX? X • yy?? (Y-?) (X-x) (?-Y)?
1.123456789
2.3,426,211,56686,4489,0826,200,000,07291,6384
3.1,817,83,24316,8432,0418,700,811,768936,6884
4.4,631,321,16979,69143,9831,800,252,160947,3344
5.2,323,15,29533,6153,1321,004,410,688915,3664
6.3,127,59,61756,2585,25 ????? 7,290,00090,0144
7.5,53630,25129619836,000,005,6169122,7664
8.0,714,10,49198,819,8713,500,365,9049130,4164
9.322,39497,2966,924,304,000,01690,3844
10.2,619,66,76384,1650,9622,407,840,28096,3504
11.4,331,318,49979,69134,5930,400,811,368930,0304
? 31,3249,2115,856628,78863,8249,125,7717,881390,9900
Коефіцієнт регресії (b) показує абсолютну силу зв'язку між варіацією x і варіацією y. Стосовно до даної задачі можна сказати, що при застосуванні відстані до найближчої пожежної станції на 1 км загальна сума збитку змінюється в середньому на 4,686 млн. руб.
Таким чином, управління регресії має такий вигляд:
3. Лінійний коефіцієнт кореляції визначається за формулою:
Відповідно до шкали Чеддока можна говорити про високу тісноті зв'язку між y та x, r = 0.957.
Квадрат коефіцієнта кореляції називається коефіцієнтом детермінації
Це означає, що частка варіації y пояснення варіацією фактора x включеного в рівняння регресії дорівнює 91,6%, а решта 8,4% варіації припадає на частку інших факторів, не врахованих у рівнянні регресії
4. Статистичну значимість коефіцієнта регресії «b» перевіряємо за допомогою t-критерію Стьюдента. Для цього спочатку визначаємо залишкову суму квадратів:
і її середнє квадратичне відхилення:
Знайдемо стандартну помилку коефіцієнта регресії за формулою:
Фактичне значення t-критерію Стьюдента для коефіцієнта регресії «b» розраховується як
Отримане фактичне значення tb порівнюється з критичним tk, який виходить за талбліце Стьюдента з урахуванням прийнятого рівня значущості L = 0,05 (для ймовірності 0,95) і числа ступенів свободи
Отриманий коефіцієнт регресії визнається типовим, тому що
Оцінка статистичної значущості побудованої моделі регресії в цілому проводиться за допомогою F-критерію Фішера
Фактичне значення критерію для рівняння визначається як
Fфакт порівнюється з критичним значенням Fк, що визначається за таблицею F-критерію з урахуванням прийнятого рівня значущості L = 0,05 (для ймовірності 0,95) і числа ступенів свободи:
Отже, при Fфакт> Fк рівнянні регресії в цілому визнається істотним.
5. За вихідними даними вважають, що відстань до найближчої пожежної станції
зменшиться на 5% від свого середнього рівня
Отже, значення факторного ознаки для точкового прогнозу:
а точковий прогноз:
Будуємо довірчий інтервал прогнозу збитку з імовірністю 0,95 (L = 0,05) за формулою
Табличне значення t-критерію Стьюдента для рівня значущості L = 0,05 і числа ступенів свободи п-2 = 10-2 = 8,
Стандартна помилка точкового прогнозу розраховується за формулою
Звідси довірчий інтервал становить:
З отриманих результатів видно, що інтервал від 19,8 до 28,6 млн. крб. очікуваної величини збитку досить широкий. Значна невизначеність прогнозу лінії регресії, це видно з формули пов'язана перш за все з малим об'ємом вибірки (n = 10), а також тим, що в міру віддалення від xk ширина довірчого інтервалу збільшується.
Завдання 2
Є наступні дані про ціни і дивіденди за звичайними акціями, також про прибутковість компанії.
№
ціна акції Лоллар США
прибутковість капіталу%
рівень дивідендів%
1
25
15,2
2,6
2
20
13,9
2,1
3
15
15,8
1,5
4
34
12,8
3,1
5
20
6,9
2,5
6
33
14,6
3,1
7
28
15,4
2,9
8
30
17,3
2,8
9
23
13,7
2,4
10
24
12,7
2,4
11
25
15,3
2,6
12
26
15,2
2,8
13
26
12
2,7
14
20
15,3
1,9
15
20
13,7
1,9
16
13
13,3
1,6
17
21
15,1
2,4
18
31
15
3
19
26
11,2
3,1
20
11
12,1
2
1. побудувати лінійне рівняння множинної регресії та пояснити економічний зміст його параметрів
Складемо розрахункову таблицю
№ ціна акції Лоллар СШАдоходность капіталу% рівень дивідендів%
12515,22,6
22013,92,1
31515,81,5
43412,83,1
5206,92,5
63314,63,1
72815,42,9
83017,32,8
92313,72,4
102412,72,4
112515,32,6
122615,22,8
1326122,7
142015,31,9
152013,71,9
161313,31,6
172115,12,4
1831153
192611,23,1
201112,12
Опрелеляем
За Даним таблиці складемо систему нормальних рівнянь з трьома невідомими:
Розділемо кожне рівняння на коефіцієнт при a.
Віднімемо першого рівняння з другого і третього
Розділемо кожне рівняння на коефіцієнт при
Складемо обидва рівняння і знайдемо
Таким чином, рівняння множинної регресії має вигляд
Економічний сенс коефіцієнтів і в тому, що це показники сили зв'язку, що характеризують зміну ціни акції при зміні будь-якого факторного ознаки на одиницю свого виміру при фіксованому вплив іншого чинника. Так, при зміні прибутковості капіталу на один процентний пункт, ціна акції змінитися в тому ж напрямку на 0,686 доларів; при зміні рівня дивідендів на один процентний пункт ціна акції зміниться в тому ж напрямку на 11,331 долара.
2. Розрахувати приватні коефіцієнти еластичності.
Будемо розраховувати приватні коефіцієнти еластичності для середнього значення фактора і результату:
Е-еластичність ціни акції по прибутковості капіталу
Е-еластичність ціни акції за рівнем дивідендів
3. Визначити стандартизовані коефіцієнти регресії
формули визначення:
де j-порядковий номер фактора
- Середньоквадратичне відхилення j-го фактора (обчислено раніше)
= 2,168 =, 0484
- Середньоквадратичне відхилення результативної ознаки
= 6,07
4. зробити висновок про силу зв'язку результату з кожним з факторів.
Коефіцієнти еластичності факторів говорять про те, що у разі відхилення величини відповідного фактору від його середньої величини на 1% (% як відносна величина) і за відволікання від супутнього відхилення другого фактора, що входить в рівняння множинної регресії, ціна акції відхилився від свого середнього значення на 0,403% при дії фактора (прибутковість капіталу) та на 1,188% при дії фактора (рівень дивідендів).
Таким чином сила впливу фактора на результат (ціну акції) більше, ніж фактора, а самі фактори діють в одному і тому ж позитивному напрямку.
Кількісно фактор приблизно в три рази сильніше впливає на результат ніж фактор. ()
Аналіз рівняння регресії по стандартизованих коефіцієнтів показує, що другий фактор впливає сильніше на результат, ніж фактор (), тобто при обліку варіації факторів їх вплив більш точно.
5. Визначити парні і приватні коефіцієнти кореляції, а також множинний коефіцієнт кореляції.
Парні коефіцієнти кореляції визначаються за формулами:
Окремі коефіцієнти кореляції визначаються за ф-ле:
Множинний коефіцієнт кореляції визначається за формулою:
Матриця парних коефіцієнтів кореляції
З таблиці видно, що відповідно до шкали Чеддока зв'язок між і можна оцінити як слабку, між і - як високу, між і зв'язок практично відсутній.
Таким чином, за побудованої моделі можна зробити висновок про відсутність в ній мультіколленіарності факторів.
Окремі коефіцієнти кореляції розраховувалися як оцінки вкладу у множинної коефіцієнт кореляції кожного з факторів (и). Вони характеризують зв'язку між результативними ознаками (ціною акції) і відповідним фактором x при
Причина відмінностей між значеннями приватних і парних коефіцієнтів кореляції полягає в тому, що приватний коефіцієнт відображає частку варіації результативного пріхнака (ціни акції), що пояснюється додатково при включенні фактора (або) після іншого фактора (або) в рівняння регресії, не з'ясовано раніше включеним фактором ( або).
