Формування економ-математичної моделі

Формування економіко-математичної моделі.

Постановка завдання.

Нехай є п'ять підприємств-виробників та одинадцять споживачів однакової продукції. Відомі виробничі потужності виробників і потреби споживачів. Сумарні потужності підприємств більше потреби споживачів.
Виробничі потужності виробника складають Ai. Потреба споживача продукції дорівнює Bj.
На випуск одиниці продукції виробник i витрачає Ri витрат.
Відомі витрати на доставку одиниці продукції з пункту i до пункту j - Cij.
Витрати транспорту значні і повинні бути включені в цільову функцію.
Потрібно скласти такий план виробництва і постачань, щоб сумарні витрати на виробництво і транспортування були мінімальні.

Математичне формулювання задачі.
Задоволення усіх потреб:
Xij = Bj
Точність вантажних потоків:
Xij> = 0
Дотримання обмежень потужності:
Xij
Цільова функція:
(Ri + Cij) * Xij -> min
Від звичайної транспортної задачі поставлена задача відрізняється тим, що показник оптимальності складається з двох складових. Однак, загальні витрати на виробництво і транспортування визначаються простим підсумовуванням.
Таким чином, поставлена задача є відкритою транспортної завданням.

Вихідні дані
Підприємство А1 А2 А3 А4 А5
Виробничі потужності 135 160 140 175 165
Витрати на од. продукції в рублях 119 93 81 70 62
Споживачі В1 В2 В3 В4 В5 В6 В7 В8 В9 В10
Попит споживачів 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30

Матриця транспортних витрат, руб.
(отримана на основі даних по мережі)

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10
Відправники Номери вершин 3 12 24 35 19 30 16 9 31 5
A1 2 41 34 45 64 41 46 31 38 41 18
A2 33 47 22 12 21 13 7 12 36 2 36
A3 26 35 14 7 33 1 5 16 24 10 24
A4 21 40 40 38 39 31 37 42 29 42 51
A5 13 21 16 19 47 13 19 18 10 24 19

Підсумовуванням витрат на виробництво і транспортних витрат в кожній клітині матриці одержуємо розрахункову матрицю.

Розрахункова матриця вартісних витрат.

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10
Відправ ки Ресурси
A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137
A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129
A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105
A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121
A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81

   Так як транспортна задача відкрита, то потужності перевищують потреби. Частина постачальників в оптимальному плані залишається неповних. Для вирішення завдання в матричній формі вводиться фіктивний споживач - додатковий стовпець з потребою, що дорівнює надлишку ресурсів над реальними потребами.

Рішення транспортної задачі.

Вихідні дані.

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 В10 В11
Відправ ки Ресурси 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240
A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 0
A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 0
A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 0
A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 0
A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81 0
Ітого775

Рішення

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11
Відправ ки Ресурси 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240
A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 0
135
A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 0
49 44 67
A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 0
45 65 30
A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 0
20 87 30 38
A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81 0
30 45 60 30
Разом 775

  Для підтвердження правильності рішення оптимальний план, отриманий в даній таблиці перевіряється методом потенціалів на дотримання умов оптимальності.
Умова оптимальності виглядає наступним чином:
Vij - Uij
Vij - Uij = Cij, якщо Xij> 0
  Для всіх клітин матриці різниця потенціалів стовпця і рядка менше або дорівнює показнику оптимальності, для зайнятих клітин точно дорівнює його значенню.
  Перший потенціал може бути присвоєний будь-який рядок або колонку. В даному випадку перший потенціал визначено базисної клітці, де витрати на транспортування максимальні (А4 - В10).

Перевірка рішення методом потенціалів.

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11
Відправник Ресурси 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240
A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 0 150
135
A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 0 150
49 44 67
A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 0 158
45 65 30
A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 0 150
20 87 30 38
A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81 0 150
30 45 60 30
233 228 231 259 240 244 255 249 245 271 150

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11
Відправник Ресурси 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240
A1 135 50 48 62 74 64 65 45 51 50 35 0
135
A2 160 30 10 3 5 10 0 0 30 0 27 0
30 79 44 7
A3 140 20 4 0 19 0 0 6 20 10 17 20
60 45 35
A4 175 0 5 6 0 5 6 7 0 17 19 0
50 27 98
A5 165 0 0 0 27 0 2 2 0 18 0 27
30 45 60 30

Далі слід порівняти Цільову функцію у вирішенні задачі (F1) та цільову функцію, отриману при вирішенні потенціалів (F2), якщо F1> F2, то план оптимальний.

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11
Відправите Ресурси 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240
A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 0
135
A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 0
49 44 67
A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 0
45 65 30
A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 0
20 87 30 38
A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81 0
30 45 60 30
Цел. Ф-ия (F1) 2490 3510 4860 5450 3690 5590 8055 8613 4180 3630 0
Цел. Ф-ия (F1) 50068

Споживачі B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9 B10 B11
Відправник Ресурси 30 45 60 50 45 65 79 87 44 30 240
A1 135 160 153 164 183 160 165 150 157 160 137 0
135
A2 160 140 115 105 114 106 100 105 129 95 129 0
30 79 44 7
A3 140 116 95 88 114 82 86 97 105 91 105 0
60 45 35
A4 175 110 110 108 109 101 106 112 99 112 121 0
50 27 98
A5 165 83 78 81 109 75 81 80 72 86 81 0
30 45 60 30
Цел. Ф-ия (F2) 2490 3510 5280 5450 3690 6010 8295 6993 4180 2430 0
Цел. Ф-ия (F2) 48328

Оскільки 50068> 48328, то план оптимальний, тобто умова оптимальності дотримується у всіх клітинах матриці, отже задача вирішена правильно.

Висновок.
Розроблений оптимальний план забезпечує мінімальні витрати на виробництво і транспортування продукції з п'яти пунктів виробництва в десять пунктів споживання.
На основі вирішення транспортної завдання визначені поставки кожного пункту виробництва до пунктів споживання, виробничі програми по заводах виробникам і резерви виробничих потужностей.
Резерв виробничої потужності на заводі А1 становить 135 одиниць (поставки фіктивного споживача), на заводі А2 - 7 одиниць, на заводі А4 - 98 одиниць, інші підприємства резервів не мають.
Мінімальні витрати на транспортування і виробництво склали 48328 рублів. Витрати на виробництво продукції у складі сумарних витрат визначаються множенням витрат на виробництво одиниці продукції на виробничу програму і складуть:
119 * 0 +93 * 153 +81 * 140 +70 * 77 +62 * 165 = 14229 +11340 +5390 +10230 = 41189 рублів або 85,2%.
Витрати на транспортування становлять 7139 рублів або 14,8%. Таку частку транспортних витрат для готової продукції слід вважати досить високою, хоча за окремими видами дешевих масових вантажів ця частка може бути значно вище.

Міжгалузевий баланс виробництва і розподілу

продукції в народному господарстві за 1989 рік млн. руб.)

Промисло-Електро-Сільське Інші види Всього піт-Кінцевий Всього рас-
Галузі ленность енергетіка господарство діяльності реблено продукт межі
2 3 4 5 1 8 710 6 9 11 12
2
Промисло-3 252191,1 21954,7 45395,5 57176,5 376718,0 231120,7 607838,7
ленность 4
5
Електро-1 18907,2 56932,4 9573,1 8649,8 94062,5 169808,9 263871,4
енергетика 8
Сільське 7 16942,2 143080,6 141310,1 5660,2 306993,1 141847,3 448840,4
госп-во 10
Інші 6
види 9 63792,8 29752,1 24192,9 90138,8 207876,6 208720,2 416596,8
деят-ти 11
12
Всі матер.затрати 351833,7 251719,8 220471,6 161625,3 985650,2 751497,1 1737147
Вся чіст.прод-ия 256005,7 12151,6 228368,8 254971,5 751497,6
Вся продукція 607838,4 263871,4 448840,4 416597,1 1737147
Міжгалузевий баланс складений у грошовому виразі і складається з розділів.
У першому розділі відображаються міжгалузеві потоки продукції в процесі поточного виробничого споживання. Цей розділ має однакову класифікацію, що забезпечує його шахову структуру. Другий розділ містить кінцевий продукт. У третьому розділі показується новостворена вартість.
На основі даних звітного міжгалузевого балансу розраховуються коефіцієнти витрат діленням величини міжгалузевих поставок на валову продукцію галузі.

Розрахунок коефіцієнтів прямих витрат
Розрахунок коефіцієнтів прямих витрат
Промисло-Електро-Сільське Інші види
Галузі ленность енергетіка господарство діяльності
2 3 4 5 1 8 710 6 9 11 12
2
Промисло-3 0,4149 0,0832 0,1011 0,1372
ленность 4
5
Електро-1 0,0311 0,2158 0,0213 0,0208
енергетика 8
Сільське 7 0,0279 0,5422 0,3148 0,0136
госп-во 10
Інші 6
види 9 0,1050 0,1128 0,0539 0,2164
деят-ти 11

Кінцевий продукт
Кінцевий Зростання кін. Кінцевий продукт
продукт продукції з урахуванням приросту
231120,7 24% 55468,968
263871,4 26% 68606,564
448840,4 28% 125675,312
416596,8 25% 104149,2
Х1 - промисловість
Х2 - електроенергетика
Х3 - сільське господарство
Х4 - інші види діяльності
Система лінійних рівнянь

Х1 = 0,4149 * Х1 0,0832 * Х2 0,1011 * Х3 0,1372 * Х4 55468,968
Х2 = 0,0311 * Х1 0,2158 * Х2 0,0213 * Х3 0,0208 * Х4 68606,564
Х3 = 0,0279 * Х1 0,5422 * Х2 0,3148 * Х3 0,0136 * Х4 125675,312
Х4 = 0,1050 * Х1 0,1128 * Х2 0,0539 * Х3 0,2164 * Х4 104149,2
Система лінійних рівнянь вирішується методом підстановок.

РІШЕННЯ:

Х1 - 0,4149 * Х1 - 0,0832 * Х2 - 0,1011 * Х3 - 0,1372 * Х4 = 55468,968
Х2 - 0,0311 * Х1 - 0,2158 * Х2 - 0,0213 * Х3 - 0,0208 * Х4 = 68606,564
Х3 - 0,0279 * Х1 - 0,5422 * Х2 - 0,3148 * Х3 - 0,0136 * Х4 = 125675,312
Х4 - 0,1050 * Х1 - 0,1128 * Х2 - 0,0539 * Х3 - 0,2164 * Х4 = 104149,2

  1) 0,5851 * Х1 - 0,0832 * Х2 - 0,1011 * Х3 - 0,1372 * Х4 = 55468,968
- 0,0311 * Х1 + 0,7842 * Х2 - 0,0213 * Х3 - 0,0208 * Х4 = 68606,564
- 0,0279 * Х1 - 0,5422 * Х2 + 0,6852 * Х3 - 0,0136 * Х4 = 125675,312
- 0,1050 * Х1 - 0,1128 * Х2 - 0,0539 * Х3 + 0,7836 * Х4 = 104149,2

0,0832 * Х2 + 0,1011 * Х3 + 0,1372 * Х4 + 55468,968
Х1 =
0,5851

-0,05316 * (0,0832 * Х2 0,1011 * Х3 0,1372 * Х4 +55468,968) +0,7842 * Х2-0, 0213 * Х3-0, 0208 * Х4 = 68606,564
-0,004423 * Х2 - 0,005377 * Х3 - 0,007296 * Х4 - 2948,885 + 0,7842 * Х2 - 0,0213 * Х3-0, 0208 * Х4 = 68606,564

0,7798 * Х2 - 0,0267 * Х3 - 0,0281 * Х4 = 71555,45

-0,04763 * (0,0832 * Х2 0,1011 * Х3 0,1372 * Х4 +55468,968) -0,5422 * Х2 0,6852 * Х3-0, 0136 * Х4 = 125675,312
-0,003964 * Х2 -0,004818 * Х3 - 0,006538 * Х4 - 2642,411 - 0,5422 * Х2 + 0,6852 * Х3-0, 0136 * Х4 = 125675,312

-0,5462 * Х2 + 0,6803 * Х3 - 0,0201 * Х4 = 128317,723

-0,17937 * (0,0832 * Х2 0,1011 * Х3 0,1372 * Х4 +55468,968) -0,1128 * Х2-0, 0539 * Х3 0,7836 * Х4 = 104149,2
-0,014924 * Х2 - 0,018141 * Х3 - 0,024618 * Х4 - 9949,522 - 0,1128 * Х2 - 0,0539 * Х3 + 0,7836 * Х4 = 104149,2
-0,1277 * Х2 - 0,0720 * Х3 + 0,7590 * Х4 = 114098,7

  2) 0,7798 * Х2 - 0,0267 * Х3 - 0,0281 * Х4 = 71555,45
  -0,5462 * Х2 + 0,6803 * Х3 - 0,0201 * Х4 = 128317,723
  -0,1277 * Х2 - 0,0720 * Х3 + 0,7590 * Х4 = 114098,7

  0,0267 * Х3 + 0,0281 * Х4 + 71555,45
  Х2 =
0,7798

-0,700436 * (0,0267 * Х3 + 0,0281 * Х4 + 71555,45) + 0,6803 * Х3 - 0,0201 * Х4 = 128317,723
-0,018702 * Х3 - 0,019682 * Х4-50120,01 + 0,6803 * Х3 - 0,0201 * Х4 = 128317,723

0,6616 * Х3 - 0,0398 * Х4 = 178437,7368

-0,16376 * (0,0267 * Х3 + 0,0281 * Х4 + 71555,45) - 0,0720 * Х3 + 0,7590 * Х4 = 114098,7
-0,004372 * Х3 - 0,004602 * Х4 - 11717,92 - 0,0720 * Х3 + 0,7590 * Х4 = 114098,7

-0,0764 * Х3 + 0,7544 * Х4 = 125816,6161

   3) 0,6616 * Х3 - 0,0398 * Х4 = 178437,7368
   -0,0764 * Х3 + 0,7544 * Х4 = 125816,6161
  0,0398 * Х4 + 178437,7368
  Х3 =
0,6616

-0,115478 * (0,0398 * Х4 + 178437,7368) + 0,7544 * Х4 = 125816,6161
-0,004596 * Х4-20605, 57 + 0,7544 * Х4 = 125816,6161

0,7498 * Х4 = 146422,1830

Х4 = 195280,6132
0,0398 * 195280,6132 + 178437,7368
  Х3 =
0,6616
Х3 = 281453,9075

0,0267 * 281453,9075 + 0,0281 * 195280,6132 + 71555,45
  Х2 =
  0,7798

Х2 = 108435,0533

0,0832 * 108435,0533 + 0,1011 * 281453,9075 + 0,1372 * 195280,6132 + 55468,968
Х1 =
  0,5851

Х1 = 204645,795

Результати розрахунків:
Х1 = 204645,7949 - промисловість
Х2 = 108435,0533 - електроенергетика
Х3 = 281453,9075 - сільське господарство
Х4 = 195280,6132 - інші види деят-ти
Перевірка:
Х1 = 0,4149 * Х1 0,0832 * Х2 0,1011 * Х3 0,1372 * Х4 55468,968
Х2 = 0,0311 * Х1 0,2158 * Х2 0,0213 * Х3 0,0208 * Х4 68606,564
Х3 = 0,0279 * Х1 0,5422 * Х2 0,3148 * Х3 0,0136 * Х4 125675,312
Х4 = 0,1050 * Х1 0,1128 * Х2 0,0539 * Х3 0,2164 * Х4 104149,2

Х1 = 84907,1860 + 9022,0428 + 28466,1114 + 26801,5835 + 55468,968
204645,7949 = 204645,7949
Х2 = 6365,6375 + 23395,7444 + 6002,9943 + 4054,6087 + 68606,564
108435,0533 = 108435,0533
Х3 = 5704,0654 + 58797,4008 + 88611,1852 + 2653,2285 + 125675,312
281453,9075 = 281453,9075
Х4 = 1477,6300 + 12226,2986 +15170,6179 + 42252,71884 + 104149,2
195280,6132 = 195280,6132
За результатами рішення складається плановий міжгалузевий баланс, до якого спочатку заносяться відомості про валової продукції галузей по рядку "Валова продукція" та відомості про кінцевий продукт у галузях. Міжгалузеві зв'язку розраховуються множенням величини валового продукту по галузі на коефіцієнти прямих витрат. Наприклад, щоб розрахувати розмір проміжного продукту промисловості для сільського господарства потрібно валову продукцію промисловості за планом помножити на відповідний коефіцієнт прямих витрат. Чиста продукція визначається як різниця валової продукції і суми проміжних витрат.

Плановий міжгалузевий баланс
                              Плановий міжгалузевий баланс

Промисло-Електро-Сільське Інші види Всього піт-Кінцевий Валова
     Галузі ленность енергетік господарство діяльності реблено продукт продукція
2 3 4 5 1 8 7 10 6 9 11 12
2
Промисло-3 84907,2 9022,0428 28466,1115 26801,6 149196,9 55468,97 204645,79
ленность 4
5
Електро-1 6365,6 23395,7 6003,0 4054,6 39819,0 68606,56 108435,05
енергетика 8
Сільське 7 5704,1 58797,4 88611,2 2653,2 155765,9 125675,3 281453,91
госп-во 10
Інші 6
види 9 21477,6 12226,3 15170,6 42252,7 91127,3 104149,2 195280,61
деят-ти 11
12
Всі матер.затрати 118454,5 103441,5 138250,9 75762,1 435909,1 353900 789815,4
Чистий дохід 86191,3 4993,6 143203,0 119518,5 353906,3
Валова продукція 204645,79 108435,053 281453,908 195280,61 789815,4 Разом

Далі необхідно розрахувати коефіцієнти повних витрат, для цього перетворимо формулу Х = аij * Xj + Yi наступним чином:
                                       X - aij * Xj = Yi, вважаючи, що Xj = E * Xj
                                  E * Xj - aij * Xj = Yi
                                        X * (E - a) = Yi
                                        X = (E - a) * Yi
Вираз (E - a) представляє собою зворотну матрицю.
                   1-а11 0-А12 ... 0-а1n
E - a = ... ... ... ...
                   0-am1 0-am2 ... 1-amn

0,5851 -0,0832 -0,1011 -0,1372
Е - а = -0,0311 0,7842 -0,0213 -0,0208
-0,0279 -0,5422 0,6852 -0,0136
-0,1050 -0,1128 -0,0539 0,7836
Рішення системи пов'язано з матрицею (Е - а), позначимо (Е - а) = А
                   А11 А12 ... А1n
А = ... ... ... ...
                   Аm1 АM2 ... Аmn
Величини А - є коефіцієнти повних витрат.

1,81 0,452175 0,307179 0,3339
0,08 1,331012 0,057618 0,0507
0,14 1,078218 1,520649 0,0802
0,26 0,326235 0,154026 1,3336

X = A * Y

1,8076696 0,452174849 0,307179212 0,33390524 55468,97 204672,54
Х = 0,0826051 1,331012318 0,057617708 0,05073294 * 68606,56 = 108423,12
0,144143 1,078218311 1,520648538 0,08017912 125675,3 281426,89
0,2638982 0,326234601 0,154025841 1,33364524 104149,2 195275,33

Х1 (А) = 204672,5352
Х2 (А) = 108423,1202
Х3 (А) = 281426,8885
Х4 (А) = 195275,3261
          Коефіцієнти повних матеріальних витрат показують скільки всього потрібно виробити продукції i-тої галузі для випуску у сферу кінцевого використання одиниці продукції j-тої галузі.
Плановий міжгалузевий баланс
з урахуванням повних витрат
Промисло-Електро-Сільське Інші види Всього піт-Кінцевий Валова
     Галузі ленность енергетіка господарство діяльності реблено продукт продукція
2 3 4 5 1 8 7 10 6 9 11 12
2
Примушує 3 84918,3 9021,04994 28463,379 26800,9 149203,6 55468,97 204672,54
ленность 4
5
Електро-1 6366,5 23393,2 6002,4 4054,5 39816,6 68606,56 108423,12
енергетика 8
Сільське 7 5704,8 58790,9 88602,7 2653,2 155751,6 125675,3 281426,89
госп-во 10
Інші 6
види 9 21480,4 12225,0 15169,2 42251,6 91126,1 104149,2 195275,33
деят-ти 11
12
Всі матер.затрати 118470,0 103430,1 138237,6 75760,1 435897,8 353900 789797,9
Чистий дохід 86202,5 4993,0 143189,3 119515,2 353900,0
Валова продукція 204672,54 108423,12 281426,89 195275,33 789797,9 Разом

Розроблений міжгалузевий баланс визначає сукупний валовий продукт на плановий період, показує міжгалузеві зв'язки і обсяги проміжного продукту, виробленого кожною галуззю. У порівнянні з звітним балансом плановий баланс забезпечує мінімальний приріст валової продукції, крім галузі промисловості, де приріст становить 1%. Всі дані показані в таблиці:

коефіцієнт коефіцієнт РІЗНИЦЯ
прямих витрат повних витрат
Х1 (а) 204645,795 Х1 (А) 204672,535 -26,740
Х2 (а) 108435,053 Х2 (А) 108423,12 11,933
Х3 (а) 281453,908 Х3 (А) 281426,889 27,019
Х4 (а) 195280,61 Х4 (А) 195275,326 5,287
Тобто приріст кінцевої продукції в сільськогосподарській діяльності на 0,63%, забезпечується приростом валової продукції, приріст сільськогосподарської діяльності забезпечується на 0,41%. Для збільшення кінцевого продукту в сфері промисловості необхідно збільшити приріст валового продукту на 0,34%, а приріст кінцевого продукту в інших галузях на 0,49% забезпечується приростом валового продукту цих галузей.