1. Введення
Зіткнення рухомих тел властиві всім рівням Всесвіту - від мікроскопічного до космічного, тому ударні явища вельми різноманітні. В динаміці вивчають вплив зіткнень на рух механічних систем. Це завдання привертала увагу багатьох відомих вчених, серед яких Х. Гюйгенса, І. Ньютона, Ж. Даламбера, С. Пуансони, Г. Дарбу, Е. Дж. Рауса, А.М. Ляпунова, Н.Є. Жуковського, С.П. Тимошенко і багатьох інших. Специфіка ударів полягає в їх інтенсивності і швидкоплинність. Ця властивість може виявитися і корисним, як при забивання паль, видобутку руди або грі в м'яч, і небезпечним, як при транспортних пригодах. Отже, проблема удару важлива не тільки для теоретиків, але і для конструкторів, автолюбителів, спортсменів та ін
2. Підходи до теорії удару
З фізичної точки зору ударні сили - відгук на деформації, що виникають поблизу площадки контакту і хвилеподібно поширюються в даних тілах. Математичні моделі відображають цей процес з більшою або меншою повнотою. У класичній теорії удару деформації не враховуються і проблема зводиться до визначення інтегральних характеристик ударних сил - їх імпульсів. В основі цієї теорії лежать закони механіки і деякі додаткові гіпотези.
Розглянемо для прикладу найпростішу задачу про прямий удар двох куль з масами m1 і m2.
На малюнку кулі масою m1 і m2. до зіткнення мають
швидкості v1-і v2-потрібно знайти їх швидкості після удару.
Закон збереження імпульсу виражається формулою:
m1 v1i + m2 v2i = m1 v1 + m2 v2
де v1i і v2i; v1 і v2 відповідають до - і послеударним значень швидкостей. Цього єдиного рівняння недостатньо для визначення двох невідомих v1 і v2. Щоб побудувати єдине рішення, можна прийняти одну з наступних гіпотез: сумарна кінетична енергія при ударі зберігається (абсолютно пружний удар), кулі після удару не розділяються, тобто v1 = v2 (абсолютно непружних удар). Можна вибрати більш загальну гіпотезу Ньютона, відповідно до якої
v2 - v1 = e (v1i - v2i)
Коефіцієнт відновлення e, як експериментально встановив Ньютон, залежить від матеріалу куль і лежить в межах від нуля до одиниці.
Хвильова теорія удару, висхідна до Б. вересня - Венану, найбільш повно описує напружений стан соударяемих тел. В її основі лежить досить складні рівняння математичної фізики, що допускають точне рішення лише у виняткових випадках. У загальному випадку використання хвильової теорії недоцільно, зокрема, з її допомогою не вдається вирішити розглянуту завдання про удар куль.
Компромісом між цими двома крайніми підходами служать моделі, частково враховують деформації. Ідею таких методів запропонував Даламбер, який подумки поміщав маленьку пружинку (деформується елемент) в точку ударного контакту. З математичної точки зору проблема удару зводиться до розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, що не представляє принципових труднощів. У наведеному вище прикладі ідеальна пружинка не розсіюється енергію, тому удар буде абсолютно пружним.
? е удару:
m1 V1i + m2 V2i = (m1 + m2) U
де U - швидкість після удару, однакова для обох куль. З рівняння випливає, що:
U = (m1 V1i + m2 V2i)/(m1 + m2)
Закон збереження енергії для непружного удару розглянутих куль має такий вигляд:
m1 V1i2/2 + m2 V2i2/2 = (m1 + m2) U2 + W
де W - зміна внутрішньої енергії системи.
Кінетична енергія тел до удару має наступну величину:
W1 = m1 V1i2/2 + m2 V2i2/2
А кінетична енергія після удару:
W2 = (m1 + m2) U2/2 = (m1 V1i + m2 V2i) 2/2 (m1 + m2)
Втрати механічної енергії, або частина енергії, яка перейшла в теплову форму складає:
W = W1 - W2 = m1 m2 (V1i - V2i) 2/2 (m1 + m2)
Величина V1i - V2i представляє відносну швидкість руху тіл до удару. Тому енергія, що перейшла в тепло, залежить від співвідношення мас соударяющіхся тел m1 m2/(m1 + m2) і відносної швидкості руху їх до удару.
Енергію втрат можна розглядати як кінетичну енергію деякої ефективної маси:
m0 = m1 m2/(m1 + m2)
рухаються з відносною швидкістю V'i = V1i - V2i.
Для конкретних розрахунків швидкості потрібно спроектувати співвідношення імпульсів на обрані напрями. Якщо до удару швидкості куль спрямовані вздовж прямої, що проходить через їх центри, удар називають центральним. Швидкість куль після такого удару буде спрямована за тією ж прямій. Тому рівняння збереження імпульсів можна розглядати як скалярний. Але швидкості при цьому треба вважати однаковими за знаком, коли вони спрямовані в один бік і протилежними за знаком, коли вони спрямовані в протилежні сторони. Розглянемо деякі окремі випадки.
1. Кулі рухаються в одному напрямку. Удар можливий, якщо швидкості V1i і V2i різні. Наприклад, V2i> V1i, тобто друга куля наздоганяє першим. Після удару кулі будуть рухатися в ту ж сторону зі швидкістю більшою, ніж швидкість першого кулі й меншою, ніж швидкість другого. Якщо при цьому маси куль однакові, то
U = (V1i + V2i)/2
2. Кулі рухаються назустріч один одному. Після удару кулі будуть рухатися разом у той бік, до якої рухався куля, що володіє великим імпульсом. Якщо імпульси обох куль рівні за величиною, то після удару обидва кулі зупиняться.
3. У разі нецентральних удару (ріс.3.6.2а) швидкості V1i і V2i можна розкласти на складові V1X і V2X в напрямку лінії, що сполучає центри куль (вісь Х), і складає V1Y і V2Y в перпендикулярному напрямку (вісь У). Для складових V1X, V2X і V1Y, V2Y записати закон збереження імпульсу в тому ж вигляді, як і при центральному ударі і визначити складову результуючої швидкості.
Розглянемо непружних удар більш докладно. При непружного ударі частина кінетичної енергії налітав кулі втрачається з виділенням тепла. У граничному випадку абсолютно непружного удару налітають тіло слепляется з почилих тілом, кінетична енергія їх відносного руху впаде до нуля, і вони продовжують рух, як єдине тіло. У більшості практичних випадків ми маємо справу з частково пружним ударом, коли в тілі після зіткнення порушуються деформаційні коливання, затухаючі з часом. Порушення таких коливань можна змоделювати за допомогою двох однакових кульок, з'єднаних пружиною. Припустимо, що абсолютно пружний шар стикається з пружинним осциляторів. Маси куль однакові і рівні m. Тому що в момент удару пружина ще не діє, який налітав куля зупиняється, а лівий куля осцилятора приводиться в рух зі швидкістю налітав кулі v. При цьому центр мас осцилятора рухається зі швидкістю v/2. З часом коливання осцилятора затухнути і він буде продовжувати поступальний рух зі швидкістю v/2, а сумарна енергія всієї системи становитиме лише половину від енергії налітав кулі. Інша половина виділиться у вигляді тепла в осцилятора.
Удар звичайних непружних тел відповідає проміжному нагоди між ідеально пружним і повністю непружних ударами. Йому аналогічний удар аналогічний удар двох куль через непружних пружину, яка стискуючись за першу половину часу удару до деякої величини, не прийме своїх початкових розмірів після удару; або розштовхують сила під час стиснення буде більше, ніж у другу половину часу удару при розширенні пружини. Частина потенційної енергії стиснення пружини перейде в тепло і не буде звернена в кінетичну енергію руху. Отже, закон збереження механічної енергії в цьому випадку не можна застосовувати. Умова рівності швидкостей після удару також не буде мати місця, як це було при повністю непружного ударі, тому що після удару обидва тіла рухаються з різними швидкостями.
Непружних удар можна характеризувати тією часткою енергії деформації, яка звертається до тепло за час удару. Але ще Ньютоном було знайдено, що при ударі непружного куль з певного матеріалу величини відносних швидкостей до і після удару перебувають у постійному відношенні, і такий удар характеризується коефіцієнтом відновлення відносної швидкості після удару:
е = | V2 - V1 |/| V2i - V1i |
де V2i - V1i - відносна швидкість до удару, а V2 - V1 - після удару. Досвід показує, що з деяким ступенем точності можна вважати величину е постійною і залежить тільки від матеріалу соударяющіхся куль.
При ідеально пружному ударі відносна швидкість залишається тією ж самою за величиною, але змінює свій знак:
V1i - V2i = - (V1 - V2)
Коефіцієнт відновлення завжди менше одиниці, бо при пружному ударі він дорівнює одиниці, при повністю непружного ударі дорівнює нулю, тому що в цьому випадку
V2 - V1 = 0
Знаючи коефіцієнт е, можна підрахувати швидкості руху куль після удару і втрати енергії.
Використана література:
1. Д. В. Сивухин, "Загальний курс фізики. Механіка", Наука, 1979
2. О. Д. Шебалін, "Фізичні основи механіки і акустики", вища. школа, 1981
3. С. П. Стрільців, "Механіка", Наука, 1975
4. К. Шварц, Т. Гольдфарб, "Пошуки закономірностей у фізичному світі", пер. з англ., Москва, Мир, 1977
5. Лабораторні заняття з фізики, під ред. Л. Л. Гольдіна, Москва, Наука, 1983
6. А.І. Іванов, "Закономірності удару в механічних системах", Природа, 1999, № 10
9
