Теорема Нетер

Введення

        Усяке рівність виду називається інтегралом руху. Для замкнутої системи з n ступенями свободи всього існує незалежних інтегралів руху. Якщо вважати в рівняннях руху новими змінними, що не залежать від, то повний набір рівнянь руху запишеться у вигляді
, (1)
причому для замкнутої системи час тут увійде тільки у вигляді явно виписаних диференціалів. Тому виключаючи з цих рівнянь dt, ми отримаємо рівнянь, що не містять часу. Їх інтегрування призведе до Інтеграл руху.

       1. Асимптотична адитивність інтегралів руху. Формулювання теореми Нетер.

        Серед всіх інтегралів руху особливе значення мають адитивні або асимптотично адитивні інтеграли руху, для яких існує спеціальна назва - закони збереження. Якщо розглянути дві системи, що знаходяться дуже далеко один від одного, то фізично очевидно, що процеси в одній системі зовсім ніяк не повинні впливати на рух іншого. Оскільки, з іншого боку ніщо не заважає нам розглядати дві такі системи як дві частини, I і II, єдиної загальної системи, то ми приходимо до умови асимптотичної аддитивності, який полягає в наступному: якщо певна система (I + II) поділяється на дві підсистеми таким чином, що мінімум відстані між матеріальними точками різних підсистем, то її функція Лагранжа розпадається на суму функцій Лагранжа обох підсистем:
. (2)

        Закони збереження мають глибоке походження, пов'язане з інваріантність опису механічної системи щодо деякої групи перетворень часу і координат. Існує теорема Нетер, яка стверджує, що для системи диференціальних рівнянь, які можуть бути отримані як рівняння Ейлера з деякого варіаційного принципу, з інваріантності варіаційного функціоналу щодо однопараметріческой неперервної групи перетворень слід існування одного закону збереження. Якщо група містить l параметрів, то з інваріантності функціоналу буде слідувати існування l законів збереження.
        Наявність входять до потрібної теоремою Нетер групу перетворень симетрії залежить від природи фізичної системи. Для розглянутих замкнутих систем дія повинна бути інваріантні щодо семіпараметріческой групи перетворень - залежить від одного зсуву за часом, що залежать від трьох параметрів просторових зсувів і залежать від трьох параметрів обертання простору. Відповідно до цього у всякої замкнутої системи повинні існувати 7 зберігаються величин, що відповідають зазначеним перетворенням. Якщо система така, що вона допускає ще й інші перетворення симетрії, то що зберігаються величин може виявитися більше.

       2. Доказ теореми Нетер

        Точно сформулюємо і доведемо теорему Нетер.
        Розглянемо деяку систему, описувану функцією Лагранжа
. (3)
        Форма рівнянь Лагранжа-Ейлера, одержуваних з варіаційного принципу з такою функцією Лагранжа, інваріантна щодо перетворень виду, а також і щодо більш загальних перетворень
(4)
включають заміну незалежної змінної. Однак конкретний вигляд для нового виразу для дії, як функціоналу нових координат, що залежать від нового часу, може зазнати при такій зміні будь-які зміни.
        Теорема Нетер цікавиться тільки тим випадком, коли таких змін не відбувається.
        Отже, будемо вважати, що ми ввели сукупність залежних від (для простоти) одного параметра l перетворень узагальнених координат і часу.

Використовуючи (4), отримаємо:
(5)
        Нехай перетворення такі, що
(6)
тобто утворюють однопараметріческую групу. Розглянемо нескінченно мале перетворення, що відповідає параметру.
        Тоді
(7)
        Власне варіації узагальнених координат, що відбуваються при розглянутому перетворення, - це різниця значень нових координат в деякий момент нового часу і значень старих координат у відповідний момент старого часу, тобто
. (8)
Поряд з ними зручно ввести в розгляд варіації форми
(9)
залежності координат від часу, що відмінні від нуля, навіть якщо наша перетворення зачіпає тільки час, а не координати.
      Для будь-якої функції справедливо співвідношення:
.
      Тоді між двома введеними видами варіацій є співвідношення, яке можна отримати наступним чином: віднімемо з (8) рівняння (9), отримаємо:
,
візьмемо до уваги, що
,
тоді маємо:
(10)
        Варіації без зірочок, що належать до одного значення аргументу, перестановочного з диференціюванням за часом
,
в той час, як для варіацій із зірочками це, взагалі кажучи, неправильно.
        Відповідні два види варіацій можна ввести і для будь-якої динамічної змінної. Наприклад, для функції Лагранжа
(11)
причому
(12)
де включає диференціювання як за явно входить часу, так і за часом, що входить неявно, через координати і швидкості.
        Зажадаємо тепер, щоб інтеграл дії не мінявся б при нашому перетворення, - це і є той винятковий випадок, який потрібно умовою теореми, - тобто щоб було
, (13)
де Т '- та ж область інтегрування, що і Т у другому функцією, але виражена через нові змінні. Тоді підставивши (11) в (13), отримаємо
(14)
        Висловлюємо в (15) через (11) і з огляду на співвідношення
,
переходячи до інтегрування по t замість t ', отримаємо:

Враховуючи, що
,
отримаємо:
(15)
Але
(16)
Знайдемо диференціал
,
звідси
(17)

Підставивши (17) в (16), отримаємо:

        Під знаком першого суми варто рівняння Лагранжа, тобто


        Тоді маємо:
(18)
        Підставимо отримане значення варіації функції Лагранжа в (15), маємо:

З (10) висловимо через и:


        Тоді варіація дії

(19)
        Ми повинні вимагати рівності цієї варіації нулю. В силу довільності області інтегрування Т з рівності нулю інтеграла слід рівність нулю подинтегрального вираження, тобто ми приходимо до того, що необхідною і достатньою умовою інваріантності дії щодо перетворення (7) служить задоволення рівняння
.
        Замінимо і, використовуючи співвідношення (7) і (8), маємо:

Винесемо l за дужки і розділимо на неї обидві частини рівняння. Остаточно отримаємо необхідна умова:
(20)
        Іншими словами, з інваріантності дії щодо (7) ми отримали те наслідок, що величина
(21)
залишається постійною в часі. Це і є точне твердження теореми Нетер.

       3. Деякі зауваження щодо теореми Нетер
        1. Величина (21) ще не є динамічною величиною - крім узагальнених координат, швидкостей і часу вона залежить ще й від задають перетворень функцій. (21) стане динамічним законом лише тоді, коли самі визначають (7) функції будуть (крім параметрів) залежати тільки від.
        2. Звернемо увагу на різний характер двох членів у (21). Перший з них включає саму функцію Лагранжа, тому обов'язково перепутивает всі ступені свободи системи і тому може мати найбільше асимптотичної адитивність (2). Навпаки, другий має явну форму суми за окремими ступенями свободи. Таким чином, якщо перетворення, щодо якого дію інваріантної, зачіпає час, то ми можемо сподіватися на збереження тільки асимптотично аддитивной величини, якщо ж перетворення змінює лише координати, то буде зберігатися точно адитивна величина.

       Висновок

        Таким чином, була сформульована і доведена теорема Нетер. Істотно те, що теорема Нетер дозволяє, при заданому вигляді функції Лагранжа, знайти адитивні інтеграли руху у вигляді явних функцій координат і швидкостей, не інтегруючи ніяких рівнянь, адже в загальному випадку кожний з інтегралів руху знаходиться тільки інтеграцією системи, число рівнянь якої тільки на одне менше повної системи рівнянь руху.

       Список використаної літератури
1. Медведєв Б.В. Почала теоретичної фізики. Механіка. Теорія поля. Елементи квантової механіки: Навч. Посібник для вузів. - М.: Наука, 1977. - 496 с.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механіка. Електродинаміка: Короткий курс теоретичної фізики. Кн. 1. - М.: Наука, 1969 - 271 с.
3. Римкевіч П.А. Курс фізики [Для фіз-мат фак. пед. інститутів] Изд. 2-е, перераб и доп. М.: Вища школа, 1975.

7