№ 102
Матеріальна точка рухається прямолінійно з прискоренням a = 5 м/с 2. Визначити, на скільки шлях, пройдений точкою в n-у секунду, буде більше шляху, пройденого в попередню секунду. Прийняти v0 = 0.
Дано:
1. Шлях при рівноприскореному русі без
початкової швидкості підраховуємо за формулою:
Нехай тоді шлях за n секунду:
- За (n-1) секунд:
- За (n-2) секунд:
2. Шлях за одну (n-1)-ю секунду:
Дорога ж за одну n-у секунду буде дорівнює:
Бажаєма різниця шляхів:
Різниця шляхів чисельно дорівнює прискорення матеріальної точки.
№ 112
З візки вільно рухається по горизонтальному шляху зі швидкістю v1 = 3 м/с, в сторону, протилежну руху візки, стрибає людина, після чого швидкість візки змінилася і стала рівною u1 = 4 м/с. Визначити горизонтальну складову швидкості u2X людини при стрибку щодо візки. Маса візка m1 = 210 кг, маса людини m2 = 70 кг.
Дано:
Система ( «Людина-візок») замкнута (ізольована). Застосуємо закон збереження імпульсу:
тобто:
або на вісь Х:
знайдемо U2X:
Відповідь: U2x = 0.
№ 122
За невеликому шматку м'якого заліза, який лежить на ковадлі масою m1 = 300 кг, вдаряє молот масою m2 = 8 кг. Визначити ККД? удару, якщо удар непружних. Корисною вважати енергію, витрачену на деформацію шматка заліза.
Дано:
Перед ударом молота швидкість була v, то кінетічес-
кая енергія молота, що представляє собою повну
механічну енергію буде:
На увазі не пружності удару (зупинка молота) ця енергія є витраченої енергією:
або
Будемо вважати систему (молот-ковадло зі шматком м'якого заліза) ізольованою і застосуємо закон збереження імпульсу:
тобто
(відскакує молот).
Швидкість ковадла з залізом:
і отже кінетична енергія ковадла з молотом:
Маємо згідно закону збереження енергії:
тобто
Eдеф .- енергія, яка пішла на деформацію шматка заліза, звідки
то
За визначенням коефіцієнта корисної дії:
Відповідь:? = 97,47%
№ 132
З шахти глибиною h = 600 м піднімають кліть масою m1 = 3,0 т на канаті, кожен метр якого має масу m = 1,5 кг. Яка робота А відбувається при піднятті кліті на поверхню Землі? Який ККД? підйомного пристрою?
Дано:
1. Робота з підйому кліті (без троса), тобто корисна
робота:
2. Робота з підйому троса: - довжина;
- Маса;
- Сила тяжіння;
Виділимо їх:
- Елементарна робота по рівномірному
підйому (зовнішня сила дорівнює силі тяжіння
елемента тросу на висоту дорівнюватиме:
де де - щільність троса (лінійна),
вона задана.
Інтегруємо:
3. Вся витрачена робота (спільна робота з підйому кліті з тросом):
4. ККД підйомного пристрою:
тобто
Відповідь:
№ 142
За дотичній до шкіфу маховика у вигляді диска діаметром D = 75 см і масою m = 40 кг прикладена сила F = 1 кН. Визначити кутове прискорення? і частоту обертання n маховика через час t = 10 с після початку дії сили, якщо радіус r шкіфа дорівнює 12 см. Силою тертя знехтувати.
Дано:
1. За другим законом Ньютона:
де - сила інерції маховика диска.
.
2. При рівномірному обертанні:
Розгін маховика почався зі стану спокою,. Отримуємо:
де пов'язана з частотою обертання
,
отримуємо:
Відповідь:
.
№ 152
На лаві Жуковського стоїть людина і тримає в руках стрижень вертикально по осі лави. Лавка з людиною обертається з кутовою швидкістю w1 = 4 рад/с. З якою кутовою швидкістю w2 буде обертатися лава з людиною, якщо повернути стрижень так, щоб він зайняв горизонтальне положення? Сумарний момент інерції людини і лави I = 5 кг? М2. Довжина стрижня l = 1,8 м, маса m = 6 кг. Вважати, що центр мас стержня з людиною знаходиться на осі платформи.
Дано:
1. Закон збереження моменту імпульсу твердого
тіла буде мати вигляд:
, Звідки
, (1)
де і
(2)
3. Обчислюємо момент інерції стрижня відносно вертикальної осі, що проходить через середину стрижня:
Елементарна маса прийнята за матеріальну точку, для неї:
, Де і де
(S-поперечний переріз стрижня)
.
Таким чином:
.
Інтегруючи, отримуємо:
(- Щільність матеріалу стрижня)
Висловимо її:
Підставимо в (2):
Підставимо в (1):
Відповідь:
№ 162
Яка робота А буде здійснена силами гравітаційного поля при падінні на Землю тіла масою m = 2 кг: 1) з висоти h = 1000 км; 2) з нескінченності?
Дано:
Ел. Робота гравітації. сили на відрізку шляху
де
тобто
звідки інтегруванням отримуємо:
При
Відповідь:
№ 172
Точка бере участь одночасно в двох взаємно перпендикулярних коливаннях, рівняння яких x = A1sin? 1t і y = A2cos? 2t, де А1 = 8 см,
А2 = 4 см,? 1 =? 2 = 2 с-1. Написати рівняння траєкторії і побудувати її. Показати напрямок руху точки.
Дано:
1. (1)
(2)
Введене в квадрат:
Складемо почленно:
- Траєкторією точки є еліпс з півосями: а = 8, в = 4
2. Встановимо напрямок руху координати точок у момент часу і, наприклад,
За рівнянь (1) і (2):
==> За годинниковою стрілкою.
