дивитися на реферати схожі на "Електропостачання"
ЗМІСТ
1. Завдання.
2. Розрахунково-пояснювальна записка.
3. Анотація.
4. Ведення.
5. Теорія.
6. Алгоритми.
7. Програми.
8. Інструкція користувача.
9. Результати експериментів.
10. Висновок.
ЗАВДАННЯ
A. Виписати систему кінцево-різницевих рівнянь.
B. Оцінити обчислювальні витрати, необхідні для виконання аналітичних рішень з шістьма десятковими цифрами в 100 і 1000 точках інтервалу.
Визначити та використовувати розкладання в ряд Тейлора для цих обчислень.
C. Оцінити до проведення будь-яких обчислень ті обчислювальні витрати, які будуть потрібні для вирішення кінцево-різницевих рівнянь у 100 і 1000 точках за допомогою:
4. Винятки Гаусса,
5. Ітераційного методу Якобі,
6. Ітераційного методу Гауса-Зейделя.
G. Обчислити рішення кінцево-різницевих рівнянь за допомогою кожного з трьох методів із завдання C.
H. Оцінити можливість застосування різних методів наближений-ного розв'язання крайових задач для диференціальних рівнянь.
АНОТАЦІЯ
У даній роботі з дослідження прямих і ітераційних методів вирішеннялінійних систем, що виникають в крайових задачах для диференціальнихрівнянь було складено шість програм безпосередньо за алгоритмами
Гауса, Якобі, Гауса-Зейделя. Кожен з методів був представлений у виглядісамостійної програми, яка має інструкцію для користувача.
Кожна програма працює за певним управління, причому програма
Гаусса формує матрицю сама, а в програмах Якобі і Гауса-Зейделявводиться тільки кількість точок на інтервал, виходячи з чого формуєтьсястовпець невідомих членів. Початкові значення невідомих задаютьсяавтоматично на основі результатів, отриманих в ході дослідження булизроблені відповідні висновки.
ВСТУП
Персональні комп'ютери є одним з найпотужніших факторіврозвитку людства. Завдяки універсальності, високому швидкодією,невтомністю в роботі, простоту в управлінні PC знайшли широке застосування врізних сферах діяльності людини.
З розвитком науково-технічного прогресу дедалі більша частина завданьвимагає рішення на ЕОМ, тому наш курсовий проект направили на розвитокне тільки певних навичок логічного мислення, але і здатністьрозвивати і закріплювати ці навички.
ТЕОРІЯ
Дискретизація звичайних диференціальних рівнянь кінцевимидивовижними речами призводить до лінійних рівнянь; якщо розглядається крайовазавдання, то рівняння утворюють спільну лінійну систему.
Прямим методом вирішення лінійної системи називається будь-який метод,який дозволяє отримати рішення за допомогою кінцевого числа елементарнихарифметичних операцій: додавання, віднімання, ділення і т.д. Цей методзаснований на зведенні матриці, системи A до матриці простої структури --діагональної (і тоді рішення очевидно) і трикутної - розробкаефективних методів вирішення таких систем. Наприклад, якщо А є верхньоютрикутної матрицею:
; рішення відшукується за допомогою послідовних зворотнихпідстановок. Спочатку з останнього рівняння обчислюється, потімотримані значення підставляються в попередні рівняння і обчислюється
і т.д.
;; або в загальному вигляді:
, i = n, n-1, ..., 1.
Вартість такого рішення становить додавань множень (а також іділенні, якими можна знехтувати).
Зведення матриць А до одного з двох зазначених вище видів здійснюється здопомогою її множення на спеціально підібрану матрицю М, так що система
перетворюється на нову систему.
У багатьох випадках матрицю М підбирають таким чином, щоб матриця МАстала верхньої трикутної.
Прямі методи розв'язання СЛР не можна застосовувати при дуже великих, черезнаростаючих помилок, заокругленнях, пов'язаних з виконанням великого числаарифметичних операцій. Усунути ці труднощі допомагають ітераційніметоди. З їх допомогою можна отримати, починаючи з вектора, нескінченнупослідовність векторів, що сходяться до вирішення системи (m-номерітерації)
.
Метод є сходяться в одному, якщо цей стан справедливо для довільногопочаткового вектора.
В усіх методах, які розглянуті нижче, матриця А представляється увигляді А = М-N (нижче показано, як це наповнюється) і послідовновирішуються системи
.
Формально рішенням системи є:
де - обернена матриця. Рішення ітераційним методом спрощується щеі тому, що на кожному кроці треба вирішувати систему з одними і тими жматрицями. Очевидно, що матриця М повинна бути легко звертатися, а дляотримання бажаної точності треба виконати певне число ітерацій.
Критерієм закінчення ітераційного процесу є дотриманняспіввідношення:
або, де - вектор нев'язок рівнянь, ії - допустимапохибка СЛР по неузгодженості або приросту вектора невідомих на ітерації.
різницевих рівнянь
Багато фізичні системи моделюються діфферінці-ний рівняннями,наприклад:
які не можуть бути вирішені аналітично. Наближення цих рівнянькінцевими речами засноване на дискредитації інтервалу [0,1] як показанона рис.1 і заміні похідної.
простий різницею, наприклад:
де, 0,2 = 1/5 = X4-X3.
Тоді апроксимуючої різницеві рівняння має вигляд:
У кожній точці дискретизації справедливо одне таке рівняння, щопризводить до лінійної системи для наближених значень рішеннядиференціального рівняння.
Рівняння такого вигляду можна вирішити за допомогою розкладу в ряд Тейлора. Унашому випадку рівняння вирішені розкладом в ряд Тейлора мають вигляд;
Знайтиy '(0); y''(0) = 1; y''' (0) = 1; позначимо у '(0) як С.
Рішення:
Рішення :
Система кінцево-різницевих рівнянь
інтервал [0,2] розділимо на 10 точок
-2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0.04
1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0 0.04
0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0 0.04 < p> 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0 0.04
0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0 0.04
0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0 0.04
0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0 0.04
0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0 0.04
0 0 0 0 0 0 0 1 -2 1 0.04
0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 -2 +0.04
5 точок.
| | 1 | 0 | 0 | 0 | | 0 |
| 1 | | 1 | 0 | 0 | | 0 |
| 0 | 1 | | 1 | 0 | | 0 |
| 0 | 0 | 1 | | 1 | | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | | | 0 |
АЛГОРИТМ Гаусса
Призначення: Вирішити щодо Х.
Вхідні параметри: masheps R, n Z,
Вектор правих частин.
Вхідний - вихідні параметри, після розкладання в А зберігаються її верхні трикутніспівмножники,.
Код повернення retcode = 0 при успішному вирішенні і retcode = 1 при виродженняматриці.
Вихідні параметри:.
Алгоритм
1. retcode = 0
2. if n = 1 then
3 if A [1,1] = 0 then retcode = 1
4 return
(* Гауссових виключення з частковим вибором провідного елемента *)
3. for k = 1 to n do (* знайти головний елемент *)
4 Amax
