МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ПГД І ТМО

НА ТЕМУ: «РІШЕННЯ обернених задач теплопровідності для < p> ЕЛЕМЕНТІВ КОНСТРУКЦІЙ Прості геометричні форми »

ВИКОНАВ: СТ. ГР. МТ-98-1

ДАЦЕНКО И. Н.

ДНІПРОПЕТРОВСЬК

-2001 -

Постановки задач про теплообміні між твердим тілом або деякоїсистемою і навколишнім середовищем розглядаються з точки зору співвідношеньпричина-наслідок. При цьому до причинним характеристикам теплообмінногопроцесу в тілі (системі) відповідно до прийнятої моделлю віднесемограничні умови та їх параметри, початкові умови, теплофізичнівластивості, внутрішні джерела тепла і провідності, а також геометричніхарактеристики тіла або системи. Тоді наслідком буде те чи іншетепловий стан, обумовлене температурним полем досліджуваного об'єкта.

Встановлення причинно - наслідкових зв'язків становить мета прямихзавдань теплообміну. Навпаки, якщо з певної інформації протемпературному полі потрібно відновити причинні характеристики, томаємо ту чи іншу постановку зворотної задачі теплообміну.

Постановки обернених задач, на відміну від прямих, не відповідаютьфізично реалізованим подіям. Наприклад, не можна звернути хідтеплообмінного процесу і тим більше змінити перебіг часу. Такимчином, можна говорити про фізичну некоректність постановки зворотногозавдання. Природно, що при математичної формалізації вона проявляєтьсявже як математична некоректність (найчастіше нестійкість рішення) іобернені задачі представляють собою типовий приклад некоректно поставленихзавдань в теорії теплообміну.

Гранична ТЗТ - відновлення теплових умов на кордоні тіла. Доцього типу завдань віднесемо також завдання, пов'язане з продовженням рішеннярівняння теплопровідності від деякої межі, де одночасно заданітемпература Т (х *, т) і щільність теплового потоку q (х *, т);

Організація охолодження конструкції камер згоряння є одним знайважливіших питань проектування і в порівнянні з іншими типами тепловихмашин ускладнюється тим, що теплові процеси протікають при високихДо температурах і тисках. Так як високотемпературні продуктизгоряння рухаються по камері з дуже великою швидкістю, то різко зростаютькоефіцієнт конвективної тепловіддачі від гарячих продуктів згоряння достінок камери і конвективні теплові потоки, що доходять вкритичному перетині сопла до 23,26 - 69,78. Крім того,теплообмін у конструкції характеризується високим рівнем радіації в камері,що призводить до великих променистим тепловим потокам/13 /.

Внаслідок потужних сумарних конвективних і променистих теплових потоків встінці камери температура її може досягати значень перевищують (1000 -
1500С. Величина цих потоків визначається значеннями режимнихпараметрів, складом продуктів згоряння в ядрі газового потоку і впристінкового шарі, а також температурою внутрішньої поверхні конструкції.
Через зміни діаметра проточної частини по довжині теплопроводу від продуктівзгоряння виявляється нерівномірним. Нерівномірним є такожрозподіл температури по периметру, обумовлене зміною складупродуктів згоряння.

Коефіцієнт тепловіддачі від продуктів згоряння визначається з урахуваннямспільного впливу конвективного і променевого теплового потоків увідповідному перерізі конструкції вузла за значеннями параметрів (тиск,склад і температура продуктів згоряння в ядрі газового потоку і впристінкового шарі) на сталому режимі експлуатації/13 /.

Час виходу розглянутих конструкцій на сталий тепловоїрежим порівнянно і може виявитися навіть більшим часу їх роботи приексплуатації. У цих умовах завдання визначення теплового стану вперіод роботи зводиться до розрахунку прогріву їх під впливомвисокотемпературних продуктів згоряння/1, 2 /.

Розглянемо наступну схему корпусу камери згоряння.

На поверхні в перетині розташовується по дві точки виміру, розташованих удіаметрально протилежних точках периметра корпусу.
У перетині I - I корпусу сопла можна представити у вигляді одношаровоїнеобмеженої пластини, двошаровою - перетин II - II (Рис.1).
Розрахункові схеми елементів конструкції представлені на малюнку 2 і 3.

Зворотній теплова задача для пластини формулюється наступним чином.
Потрібно по вимірах температури і теплового потоку до пластині
(рис.2) при X = 0 знайти зміни температури і теплового потоку наповерхні X = 1.

Рішення зворотного теплової задачі в такій постановці доцільнопобудувати з використанням рішення задачі Коші/3 /.

У просторі змінних задана деяка гладкаповерхню Г. З кожною точкою зв'язується деякий напрямок
, Некасательное Г.

В околиці поверхні Г потрібно знайти рішення рівняння.

задовольняє умовам Коші

де - безрозмірні час і координата.

Неважко переконатися, що рішення задачі (1), (2), записане у вигляді:

(3)

і є шуканим/10 /.

Твердження про існування рішення (3), про аналітичності цього рішенняі його єдиності в класі аналітичних функцій складають зміствідомої класичної теореми Коші - Ковалевської/11 /.

Рішення (13) при заданих і дозволяє знайти шуканізміни температури і теплового потоку Однак у такійінтерпретації рішення (3), де функції відомі з експериментуз деякою заданою похибкою, необхідно враховувати і той факт, щообчислення операторів диференціювання нестійкий дозбурень у вихідних даних/12 /.
Таким чином, маємо типову некоректну задачу, для побудовистійкого рішення якої необхідно побудова регулярізірующіхалгоритмів.
Збережемо в рішенні (3) кінцеве число доданків N. Введемо позначення

(4)

Інтегруючи (4) отримаємо систему інтегральних рівнянь Вольтерра першогороду:

,

(5)

де k = 1, 2, ... , N.

Співвідношення для теплового потоку в (3) записується аналогічно. УНадалі будемо вважати, що на поверхні X = 0 знімання тепла відсутня,тобто стінка теплоізольована. Тоді рішення (3) з урахуванням позначень (4)записується у вигляді

(6)

Таким чином, граничні умови при X = 1 відновлюютьсяспіввідношенням (6), в якому функції знаходяться з рішенняінтегральних рівнянь (5)

(7)

де права частина задається приблизно, тобто

Тут - числовий параметр, що характеризує похибка правій частинірівняння (7).

Завдання (7) є, в загальному випадки некоректно поставлене/12 /.
Найбільш поширеним в даний час ефективним регулярізующімалгоритмом для її вирішення є алгоритм, заснований на мінімізаціїфункціонала А. М. Тихонова/12 /.

(8)

З подальшим вибором параметра регуляризації за так званимпринципом нев'язки.

Наприклад, якщо - яка - або екстремали функціоналу (8),реалізує його глобальний мінімум при заданому і фіксованому
, То числовий параметр визначається з умови

(9)

Регулярізующій алгоритм (7) - (9) докладно вивчено в/12/і володієстійкістю до малих збурень правій частині (7).

Права частина рівняння (7) при вирішенні формувалася таким чином.
Функція характеризує зміна температури поверхні,задавалася таблицею. Початкові умови для 1, 2, ..., N-1)знаходилися зі співвідношення/3 /:

(10)

де, - розподіл температури, задане в початковий моментчасу. Звідки для рівномірного розподілу температури в початковиймомент часу має

1, 2, ..., N-1

(11)

З аналізу теплофізичних і геометричних характеристик конструкціїкамери згоряння слід можливість представлення системи пластин тепловоговідносини (рис.1) у вигляді пластини з теплозахисного покриття і оболонки,яку можна розглядати як теплову ємність. Це дає можливістьскористатися для побудови рішення зворотного теплової задачі длязаданого вузла рішенням задачі Коші (3). У системі координат,представленої на Рис.1, поверхня при X = 0 будемо вважатитеплоізольованої, тобто

(12)

Крім цього припустимо, система пластин в початковий момент часупрогріта рівномірно і, отже, початкові умови для функціїмають вигляд (11).

При зроблених вище припущеннях умови Коші (12) для цієї задачімають вигляд

(13)

Де

Підставляючи значення з умови (2) в рішення задачі Коші (3)отримаємо

(14)де

Таким чином, рішення цього завдання має вигляд

(15)

де нам задана, а функції (n = 1, 2, ..., N) визначаються ізрішенняінтегральних рівнянь Вольтерра першого роду (5) методом регуляризації
(7) - (9).

Отже, шукані величини визначаються з рішення (4)з використанням регулярізірующего алгоритму (7) - (9).

Метод найменших квадратів.

Нехай функція задана на своїми значеннями в точках.
Розглянемо сукупність функцій

(16)

лінійно незалежних на.

Будемо відшукувати лінійну комбінацію цих функцій

(17)так, щоб сума квадратів її відхилень від заданих значень функціїу вузлах мала б найменше можливе значення, тобто величина

(18)брала б мінімальне значення.

Зауважимо, що згадана сума є функцією коефіцієнтів

.

(19)
Тому для вирішення нашої задачі скористаємося відомим прийомомдиференціального обчислення, а саме: знайдемо приватні похідні функції
по всім змінним і прирівняти їх нулю:

де

Звідси бачимо, що метод найменших квадратів приводить до необхідностівирішувати систему алгебраїчних рівнянь

.

(20)
Можна довести, що якщо серед крапок немає співпадаючих і, товизначник системи (20) відмінний від нуля і, отже, ця системамає єдине рішення (19). Підставивши його в (17), знайдемо шуканийузагальнений многочлен, ті є многочлен, що володіє мінімальнимквадратичне відхилення. Зауважимо, що при m = n коефіцієнти (19)можна визначити з умов причому в цьому випадку Ф = 0.
Отже, ми приходимо тут до розглянутої раніше завданняінтерполювання.

Функції, що, як відомо, утворюють систему Чебушева набудь-якому сегменті і можуть бути використані для практичної реалізаціїописаного методу.

Легко бачити, що коефіцієнти і вільні члени системи (20) в цьомувипадку представимо як

(21)

(22)
Зауважимо тут, що матриця є симетричною іпозитивно певної, так як квадратична форма невід'ємнідля будь-яких значень змінних причому тільки при
Дійсно,

Нехай задана система алгебраїчних рівнянь

(23)де - невироджених квадратна матриця m - го порядку, а й
 - Вектор - стовпці, погоджені в розмірністю матриці А.

Виділяють два класи методів вирішення таких систем: прямі іітераційні.

Прямі методи засновані на розкладанні матриці А в творі більшепростих матриць (діагональних, трикутних, ортогональних). У цьому випадкувихідна система рівнянь (23) розпадається на декілька більш простихсистем, що вирішуються послідовно. Якщо при цьому всі обчислення вироблятибез заокруглень, то через цілком визначене заздалегідь відоме кінцевечисло кроків вийде точне рішення системи (23).
Тому їх називають також точними. Альтернативою для зазначених методівє ітераційні алгоритми, в яких рішення знаходиться як межа при
послідовних наближень, де - номер ітерацій.

Залежності температури поверхні та експериментальної температури відчасу, а також теплового потоку та коефіцієнта тепловіддачі представленіна рисунках 4, 5, 6, 7 і 8 відповідно.

У реальних умовах вимірювані температури (тобто вихідні дані длязворотного теплової задачі) є випадковими величинами через дефективиробництва, технології виготовлення, забруднення поверхні, похибкивимірювання та обробки експериментальної інформації. Вплив похибоквихідної інформації на рішення зворотної задачі теплопровідності оцінювалосяза допомогою методу статистичних випробувань Монте - Карло/5-8 /. Аналізрезультату статистичного моделювання рішення зворотної задачі дозволяєвстановити коридор помилок шуканих граничних умов.

Одним з методів рішення ТЗТ є метод статистичних випробувань
Монте-Карло, який полягає у статистичному моделюванніаналітичних рішень ТЗТ з урахуванням випадкового характеру вихідних даних
/ 121 /.

У методі Монте-Карло основним є випадкова вибірка вихіднихданих/24 /. У даній роботі для цього необхідне джерело випадкових чисел.

Введемо для вихідних даних позначення

(24)де - математичне сподівання j - го параметра в точках. Помилку
 представимо у вигляді

=

(25)де - максимально можлива похибка,

- функція обурення, в загальному випадку різна у всіхточках.

Функція обурення має вигляд при обуренні по нормальномузакону розподілу щільності ймовірностей при використанні правила
"трьох сигм"; - випадкова величина, розподілена по нормальномузакону з математичним очікуванням m = 0 і дисперсією Д = 1.

Використовуючи метод Монте - Карло можна досліджувати впливпохибки вихідної інформації (геометричні розміри, місце установкитемпературного датчика, теплофізичні характеристики, вимірювання таобробки експериментальної температури внутрішніх точок тіла) на рішення
ТЗТ. Коридор помилок відновленого рішення можна визначити зарезультатами статистичної обробки отриманих реалізації. Крім того,процедура Монте - Карло дозволяє розглядати вплив кожної вхіднийвеличини на рішення ТЗТ. Знайдені таким шляхом статистичніхарактеристики рішення ТЗТ можна використовувати для того, щоб направитиінженерні зусилля на зменшення саме тих випадкових варіацій, якінайбільш сильно позначаються на вирішенні ТЗТ.

Проведені розрахунки для одношарової пластини показали, що похибкав завданні експериментальної температури до 5% викликає максимальнівідхилення температури поверхні до 10% на тимчасовому інтервалі 0 - 55сек, а на іншому часовому ділянці до 5%.
Максимальні відхилення теплового потоку на тих же тимчасових інтервалахскладають соотственно 20% і 10%.

Проведені розрахунки для двошаровою пластини показали, щопохибка в завданні експериментальної температури до 5% викликаємаксимальні відхилення температури до 10% на тимчасовому інтервалі 0 - 50сек, а на іншому часовому ділянці до 5%. Максимальні відхиленнятеплового потоку на тих же тимчасових інтервалах становлять відповідно
20% і 10%.

Використана література

1. Аліфанов О.В. Зворотні задачі теплообміну. - М: Машиностроение, 1988. -

280 с.

2. Аліфанов О.В., Артюхін Е.А., Румянцев С.Я. Експериментальні методи розв'язання некоректних задач. - М.: Наука, 1988. - 288 с.

3. Веселовський В.Б., Лазученков Н.М, Швачіч С.В. Обробка та інтерпретація результатів нестаціонарних експериментів при дослідженні процесів тепло

- і масообміну// Прикладні питання аеродинаміки літальних апаратів.

Київ: Наук. думка, 1984. - С. 138 - 140.

4. Веселовський В.Б. Рішення задач нестаціонарної теплопровідності для багатошарових теплозахисних покриттів// Прикладні питання аеродинаміки.

- Київ: Наук. думка, 1987. - С. 95 - 100.

5. Веселовський В. Б. Нелінійні задачі теплопровідності для складових елементів конструкцій// Прикладні задачі гідродинаміки і тепломасообміну в енергетичних установках. - Київ: Наук. думка, 1989.

- С. 113 - 117.

6. Веселовський В.Б. Нестаціонарне температурне поле складових елементів конструкцій// Математичні методи тепломасопереносу. -

Дніпропетровськ: ДГУ, 1986, с. 107 -110.

7. Веселовський В.Б. Рішення прямих задач теплопровідності для багатошарових пластин та побудова алгоритмів відновлення граничних умов//

Тези доповіді 2 - ой Республіканського симпозіуму з диференціальних та інтегральних рівнянь. - Одеса: Одеський ун - т, 1978. - С. 43 - 44.

8. Веселовський В.Б. Теплові режими складових елементів конструкції літальних апаратів// Тепломасообмін - ММФ - Мінськ: ИТМО АНБ, 1996, - том IX (Обчислювальний експеримент в задачах тепломасообміну і теплопередачі).

С. 37 - 41.

9. Коваленко Н.Д., Шмукін А.А., Гужва М.І., Махиня В.В. Нестаціонарні теплові процеси в енергетичних установках літальних апаратів. - Київ: Наук. думка, 1988. - 224 с.

-----------------------< br>I

II

II

I

Рис. 1. Схема корпусу камери згоряння.

Рис. 2. Перетин I - I одношарової необмеженої пластини.

Рис. 3. Перетин II - II двошаровою необмеженої пластини.

Рис . 7. Тепловий потік і коефіцієнт тепловіддачі длядвошаровою пластини точки 1.

Рис. 8. Температура поверхні і експериментальнатемпература для двошаровою пластиниточки 2.

Рис. 5. Тепловий потік і коефіцієнт тепловіддачі для одношаровоїпластини.

Рис. 4. Температура поверхні і експериментальнатемпература

для одношарової пластини.

Рис. 6. Температура поверхні і експериментальнатемпература для двошаровою пластини точки 1.

Рис. 9. Тепловий потік і коефіцієнт тепловіддачі длядвошаровою пластини точки 2.

Т, К

Т, К

Т, К

Т, К

Т, К

Т, К