Вірогідність і розподіл ймовірності.
1. Предмет теорії ймовірності. Ймовірність і статистика.
2. Основні категорії теорії ймовірності.
3. Класичне та статистичне визначення ймовірності.
4. Теорема додавання ймовірностей.
5. Теорема множення ймовірностей.
6. Слідство теорем додавання та множення ймовірностей.
7. Ймовірність гіпотез. Формула Байеса.
8. Незалежні події. Біноміальний розподіл.
9. Імовірність рідкісних подій. Формула Пуассона.
10. Локальна теорема де Муавра-Лапласа.
11. Інтегральна формула Лапласа.
12. Залежні події. Гіпергеометричний розподіл.
13. Нормальний розподіл.
14. Порівняльна оцінка параметрів емпіричного і нормального розподілів. Критерій Пірсона.
1. Предмет теорії ймовірності. Ймовірність і статистика.
Теорія ймовірності та математична статистика - це наука,що займається вивченням закономірностей масових випадкових явищ, тобтостатистичних закономірностей. Такі ж закономірності, тільки в більшвузької предметної області соціально-економічних явищ, вивчаєстатистика. Між цими науками є спільність методології і високаступінь взаємозв'язку. Практично будь-які висновки зроблені статистикоюрозглядаються як імовірнісні.
Особливо наочно імовірнісний характер статистичних дослідженьпроявляється у вибірковому методі, оскільки будь-який висновок зроблений зарезультатами вибірки оцінюється із заданою ймовірністю.
З розвитком ринку поступово зрощується ймовірність і статистика,особливо наочно це проявляється в управлінні ризиками, товарними запасами,портфелем цінних паперів і т.п. За кордоном теорія ймовірності таматематична статистика застосовується дуже широко. У нашій країні покишироко застосовується в управлінні якістю продукції, томупоширення і впровадження в практику методів теорії ймовірностіактуальне завдання.
2. Основні категорії теорії ймовірності.
Як і будь-яка наука, теорія ймовірності та математична статистикаоперують низкою основних категорій:
- Події;
- Вірогідність;
- Випадковість;
- Розподіл ймовірностей і т.д.
Події - називається довільна множина деякої безлічі всіхможливих результатів, можуть бути:
. Достовірні;
. Неможливі;
. Випадкові.
Вірогідним називається подія, яка свідомо відбудеться при дотриманні певних умов.
неможливим називається подія, яка явно не відбудеться при дотриманні певних умов.
Випадковим називають події, які можуть відбутися або не відбутися при дотриманні певних умов.
Події називають едінственновозможнимі, якщо настання одного з них ця подія достовірне.
Події називають рівноможливими, якщо жодна з них не є більш можливим, ніж інші.
Події називають несумісними, якщо поява одного з них виключає можливість появи іншого в тому ж випробуванні.
3. Класичне та статистичне визначення ймовірності.
Імовірність - чисельна характеристика реальності появи того чиіншої події.
Класичне визначення ймовірності: якщо безліч можливих результатівкінцеве число, то ймовірністю події Е вважається відношення числа результатівщо сприяють цій події до загального числа едінственновозможнихрівноможливими результатів.
Безліч можливих результатів в теорії ймовірності називаєтьсяпростором елементарних подій.
Простір елементарних подій завжди можна описати числом nS = 2,nS = 6.
Якщо позначити кількість результатів сприяють події n (E), тоймовірність події Е буде виглядати. Для наших прикладів.
Виходячи з класичного визначення ймовірності, можна вивести їїосновні властивості:
1) Імовірність достовірної події дорівнює 1.
2) Імовірність неможливого події дорівнює 0.
3) Імовірність випадкової події знаходиться в межах від 0 до 1.
Класичне визначення ймовірності пов'язано з безпосереднімпідрахунком ймовірності, вимагає точного знання числа всіх можливих результатів,і зручно для розрахунку ймовірності досить простих подій.
Розрахунок ймовірності більш складних подій - це складне завдання,що вимагає визначення чисел всіх можливих комбінацій появи цихподій. Подібними розрахунками займається спеціальна наука - комбінаторика.
Тому на практиці часто використовується статистичне визначенняймовірності.
| Ціна, | Обсяг продажу, т | Частка в загальному обсязі продажу |
| руб./кг | | |
| 15 | 45 | 0,45 |
| 20 | 35 | 0,35 |
| 25 | 20 | 0,2 |
| | 100 | 1,0 |
Доведено, що при багаторазовому повторенні досвіду частості доситьстійкі і коливаються біля деякого постійного числа, що представляєсобою ймовірність події.
Таким чином, в умовах масових випробувань розподіл частостейперетворюється на розподіл ймовірності випадкової зміни.
Гідність статистичного визначення ймовірності в тому, що для їїрозрахунку не обов'язково знати кінцеве число результатів.
Якщо класичне визначення ймовірності здійснюється апріорі (додосвіду), то статистичне апосторіорі (після досвіду за результатами).
Розподіл частостей дискретного ряду, виражених кінцевими числами,називається дискретним розподілом ймовірності.
Якщо здійснюються дослідження масових подій частостей, якірозподіляються безперервно і можуть бути виражені будь-якої функцією,називаються безперервним розподілом ймовірності.
На графіку такий розподіл відображається безперервної плавною лінією, аплоща обмежена цією лінією і віссю абсцис завжди дорівнює 1.
4. Теорема додавання ймовірностей.
Сумою або об'єднанням подій Е1 і Е2, називають подією Е, що складаєтьсяв появі події Е1 або Е2 або обох цих подій.
Площа прямокутника - це простір елементарних подій (числоєдино можливих рівноможливими результатів). Площі кіл Е1 і Е2відповідно - це числа результатів сприяють подіям Е1 і Е2.
- число появ результатів сприяють подіям Е1 або Е2або обох цих подій.
Тобто ймовірність появи хоча б однієї з двох несуміснихподій дорівнює сумі імовірності цих подій.
Ця формула є окремим випадком теореми додавання ймовірностей.
доводиться загальний випадок теореми методом математичної індукції,шляхом послідовної розбивки складного події на пари.
Приклад: За результатами спостереження за продажем чоловічих костюмів отриманінаступні дані про ймовірність продажу костюмів різних розмірів.
| Розмір | 48 | 50 | 52 | 54 | 56 | 58 | 60 |
| Імовірність | 0,16 | 0,22 | 0,2 | 0,19 | 0,07 | 0,05 | 0,02 |
Сукупність єдино можливих подій називається повною групоюабо повною системою.
Сума ймовірностей подій, що утворюють повну систему дорівнює 1.
утворюють повну систему, тоді ймовірність появи хоча боднієї події дорівнює 1.
У той же час не спільно, тоді по теорії складання ймовірностей
.
Приклад: З кожних 10 відвідувачів магазину 6 не роблять покупок.
Імовірність появи хоча б одного з цих подій дорівнює 1.
< p> Два одноразово можливих події, що утворюють повну групу,називаються протилежними (наприклад: орел і решка).
Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює 1.
Якщо випадкова подія Е має дуже малу ймовірність, то практичноможна вважати, що в одиничному випробуванні ця подія не відбудеться. Якщо
.
На практиці дуже малої вважається ймовірність Р (Е) (0,1.
Ігнорувати можливість появи рідкісних подій на увазі їх малоїймовірності на практиці можна тільки в тому випадку, якщо ця подія немає катастрофічних наслідків.
Якщо випадкова подія має ймовірність дуже близьку до 1, то вконкретному випробуванні ця подія, швидше за все, відбудеться.
5. Теорема множення ймовірностей.
Дві події вважаються незалежними, якщо ймовірність одного з них незалежить від появи або не появи іншої події.
Незалежні події мають місце при повторному відборі, коли відібранав першому випробуванні одиниця після реєстрації результату випробування повертаєтьсяв генеральну сукупність.
Імовірність спільного появи двох незалежних подій Е1 і Е2дорівнює добутку їх ймовірностей.
n (E1) - число випадків сприятливих події Е1; n (E2) - число випадків сприятливих події Е2; n1 - число результатів сприятливих і несприятливих події Е1; n2 - число результатів сприятливих і несприятливих події Е2.
Оскільки кожний конкретний результат випробування може здійснитися вкомбінації з будь-яким іншим можливим результатом випробування, ймовірністьспільного появи подій Е1 і Е2 можна визначити за формулою:
Кілька подій називаються спільно незалежними або незалежними всукупності, якщо кожна з них і будь-яка комбінація з них містить абовсі інші події, або частина з них - є події незалежні.
Е1 Е2 Е3
Е1 і Е2 - незалежні;
Е1 та Е3 - незалежні;
Е2 та Е3 - незалежні;
Е1 і Е2Е3 - незалежні;
Е2 і Е1Е3 - незалежні;
Е3 і Е1Е2 - незалежні .
Попарно незалежність подій не означає їх незалежністьсукупності, проте незалежність подій в сукупності обумовлює їхпопарно незалежність.
Імовірність спільного появи декількох подій незалежнихв сукупностях дорівнює добутку ймовірностей цих подій.
Так само доводиться за методом математичної індукції (тобтопослідовним розподілом на пари),
Імовірність появи хоча б одного з незалежних в сукупностіподій дорівнює різниці між 1 і добутком імовірностей протилежнихподій.
Твір ймовірностей протилежних подій дозволяє визначитиймовірність їхнього спільного появи, то є ймовірність того, що невідбудеться жодного з подій.
Але спільне появу протилежних подій і будь-якого зподій - складають повну групу, при цьому сума вірогідності такихподій дорівнює 1.
Приклад: Вірогідність придбання жіночого плаття становить 0,09.
= 0,09
= 0, 03 (пальто)
= 0,02 (плащі)
Яка ймовірність, що відвідувач купить хоча б одну з цих речей?
< p> Якщо події рівноймовірно, тобто ==, торівноймовірно і протилежні їм події q1 = q2 = ... = qm, тоді вірогідністьпояви хоча б одного з цих подій.
Дві події вважаються залежними, якщо ймовірність появи одного зних залежить від появи або не появи іншої події. Такі події
(залежні) мають місце при бесповторном відборі (за схемою неповернутихкулі), коли відібрана одиниця назад в генеральну сукупність неповертається.
З залежними подіями пов'язана умовна ймовірність. Умовноюімовірністю називається ймовірність події Е, обчисленаприпущенні, що подія Е1 вже настав.
Приклад: З колоди вийнята картка «дама». Яка вірогідність, що вонабуде чорної масті.
, де - число випадків сприяють спільномупояви подій Е та Е1, - кількість результатів сприяютьпояві події Е1.
Знаючи кількості елементарних результатів завжди можна розрахувати умовнуймовірність.
Приклад: Вийняти карта червоної масті, яка ймовірність, що це «дама»?
Якщо події Е і Е1 неравновероятни, то.
Безпосередній підрахунок умовної ймовірності вимагає знання кінцевогочисла результатів, тому більш прийнятним на практиці є розрахунокумовної ймовірності за формулою:
, де - ймовірність спільного настання подій Е та Е1;
- Імовірність настання події Е1.
Дана формула не вимагає знання кінцевого числа результатів, хоча єповним аналогом, по суті, попередньої формулою.
Імовірність спільного появи двох залежних подій дорівнюєтвору ймовірності одного з них на умовну ймовірність іншого,обчислену в припущенні, що перший подія вже відбулася.
Якщо, то.
Приклад: Ймовірність браку при поставці жіночого одягу становить 0,015.
Визначити ймовірність того, що перевірені навмання 2 сукні з партії в
200 шт., Виявляться стандартними. q = 0,015
N = 200
Імовірність стандартних платтів;
Кількість стандартних суконь
Імовірність спільного появи декількох залежних подійдорівнює добутку ймовірності першого з них на умовні ймовірностіінших, обчислені в припущенні, що це і всі попередніподії вже відбулися.
6. Слідство теорем додавання та множення ймовірностей.
Площа прямокутника - це простір елементарних всіх подій.
Площа кіл Е1 і Е2 - числа результатів, що сприяють подіям Е1 і
Е2.
- число результатів, що сприяють спільному появи подій
Е1 і Е2.
Припустимо нас задовольняє поява тільки одного з двох подій Е1 і
Е2. Якщо ці події не спільний, то їх перетин порожня множина
(, А ймовірність появи Е1 і Е2 несумісних подій визначаєтьсяза формулою:
.
Однак, при спільних події нас не задовольняє ситуація, колиобидві події з'являються одночасно. Ймовірність такого результату визначаєтьсяпо теоремі множення ймовірностей.
Таким чином, імовірність появи подій Е1 і Е2 в загальному випадкуможна розрахувати за формулою:
- для незалежних подій.
Імовірність появи хоча б однієї з двох сумісних подій дорівнюєсумі ймовірностей цих подій без імовірності їх сумісної появи.
- для залежних подій.
Приклад: Два продавця незалежно один від одного обслуговують покупців.
Імовірність того, що перший продавець зуміє продати товар 0,3, а друга -
0,2. Яка вірогідність того, що хоча б один з продавців реалізуєтовар?
Дану задачу можна вирішити й іншим способом, розглядаючи події, якнезалежні сукупності. Тоді ймовірність, що перша продавець не зумітипродати товар - 0,7, а ймовірність того, що друга не зуміє продати товар
- 0,8.
Приклад: Вірогідність покупки чоловічого костюма відвідувачем магазинустановить 0,02, краватки - 0,1, а ймовірність покупки краватки підпридбаний костюм - 0,3.
Треба визначити ймовірність покупки покупцями хоча б однієїз цих речей.
Комбінація теорем додавання та множення ймовірностей виражається вформулою повної ймовірності.
Імовірність події Е, яке може відбутися тільки з появоюоднієї з подій, що складають повну групу, дорівнює сумітворів ймовірностей кожного з цих подій на відповіднуумовну ймовірність події Е.
За умовою вірогідним є поява одного з подій або
або або. По теоремі множення ймовірностей:
Але тому що всі ці події не спільно, ймовірність появи одногоз них визначається по теоремі додавання ймовірностей.
Приклад: На плодоовочеву базу надійшло 4 партії картоплі. У першупартії - 95% частка стандартних бульб, у другій - 97%, в третій - 94%, вчетвертої - 91%. При цьому частка першої партії в загальному обсязі поставок - 28%,другий - 31%, третій - 24%, четвертої - 17%. Визначити ймовірність того,що магазину, замовлений товар, дістанеться стандартна продукція.
Отриманий результат характеризує математичне сподівання абоймовірність постачання стандартної продукції до магазину. Фактично цечасткова середня, що показує середню частку стандартних бульб у чотирьохпартіях.
7. Ймовірність гіпотез. Формула Байеса.
Як вже зазначалося, практично будь-яке твердження в статистицірозглядається як гіпотеза, тобто деякий припущення про наявність,формі, тісноті взаємозв'язків.
Припустимо, подія Е настає тільки з появою одного знесумісні подій, що утворюють повну групу. Припустимо, врезультаті випробування подія Е відбулося, то є достовірним стало одне зподій або або або.
Кожне з цих подій розглядається як гіпотетичне і йогоймовірність саме визначається за формулою Байеса.
Попередній приклад: Відомо, що в магазин поставлений стандартнийкартоплю. Яка вірогідність того, що він з четвертої партії.
Таким чином, тільки в 16-ти випадках зі 100 доставлена в магазинстандартна продукція виявиться з четвертої партії.
Застосування формули Байеса дозволяє переоцінити ймовірності гіпотез порезультатами випробувань, у наслідок яких з'явилося подія Е.
Гідність формули Байеса в тому, що вона може застосовуватися привідсутності відомостей про числ?? елементарних результатів, достатньо знатиймовірності, чи частості подій.
8. Незалежні події. Біноміальний розподіл.
Припустимо подія Е у всіх випадках має одну і ту ж імовірність
, Тоді ймовірність протилежної події буде так само постійна іможе визначатися за формулою.
Такий підхід дозволяє розглядати практично будь-який простірелементарних подій, як діхотомное (тобто складається з протилежнихподій).
Припустимо, необхідно визначити ймовірність появи події Е рівно kраз в n незалежних випробуваннях. У цьому випадку подія протилежне Евідбудеться n-k разів. Відібрати k-елементів з n можна різними способами,кожен з яких несумісні подія, поява якого це результатігри випадку.
В математиці доведено, що кількість різних комбінацій з n елементів поk визначається за формулою:
,! цей твір натурального ряду чисел, кожне з якихбільше попереднього на 1 (починаючи з 1).
Відповідно до теореми множення ймовірностей вірогідність появиоднією з можливих комбінацій визначається за формулою:
Формула, яка визначає ймовірність появи події Е k-раз на n -незалежних випробуваннях, називається формулою Бернуллі. А схема відбору здіхотомной сукупності схемою Бернуллі (або схемою повертається кулі абосхемою повторного відбору).
Приклад: Для обслуговування покупців супермаркету в годину пік безчерг повинно працювати не менше 6 контролерів-касирів з 8. Імовірністьвідсутність одного з працівників становить 0,1. Знайти ймовірність роботирозрахунково-касового вузла без черг.
Оскільки нас влаштовує робота 6, 7, 8 касових кабін, то ймовірністьпояви одного з цих несумісні подій буде визначатися за формулоюскладання ймовірностей. Кожна з цих ймовірностей може визначатися заформулою Бернуллі.
Таким чином, у 96 випадках зі 100 черг не буде.
Якщо при фіксованій чисельності n-повторного відбору з діхотомнойсукупності змінювати величину k, то отримане розподіл ймовірностібуде називатися біноміальних. Оскільки його ординати представляють собоюелементи розкладу бінома.
Число настання подій в n-незалежних випробуваннях називаєтьсянаівероятнейшім, якщо цього числа відповідає найбільша ймовірність.
При цьому якщо k змішане число, то в результаті вибирається найближче доцього змішаного числа, але менше його, ціле число.
У прикладі з касирами.
Математичне сподівання М (k) числа появи подій Е в n-незалежнихвипробуваннях одно твором числа випробувань на ймовірність появиподії в кожному випробуванні.
Якщо перейти від абсолютного числа раз появи події до щільностямрозподілу ймовірностей, то буде так само p.
Дисперсія біноміального розподілу, - по щільності.
Графік біноміального розподілу залежить від співвідношення p і q. Якщо pодно q і дорівнює 0,5, то розподіл симетрично, в іншому випадку (p? q)спостерігається асиметрія або скошеність полігону.
Показник асиметрії біноміального розподілу визначається заформулою:
Якщо, то висота біноміального розподілу відповідає висотікривої нормального розподілу. Доведено, що зі збільшенням числавипробувань значення, а біноміальна розподіл прагне донормальному розподілу.
9. Імовірність рідкісних подій. Формула Пуассона.
Застосування формули Бернуллі пов'язане з розрахунками трьох факторіали, щопри досить великих значеннях n, k, nq, ускладнює завдання. Томустатистики математики розробили ряд зразкових методів, які вигідно відрізняються формулу
Бернуллі при вирішенні деяких приватних і спільних завдань.
Приклад: Визначення ймовірності появи рідкісних подій, k-раз,в n незалежних випробуваннях. Причому мається на увазі нефіксоване, анескінченно велику кількість випробувань (). При цьому. Такаймовірність визначається за формулою Пуассона (альтернативні незалежніподії).
- математичне очікування;
Формула Пуассона виводиться з формули Бернуллі і після рядуперетворень виглядає в такий спосіб, де k - кількість разів,яке відбудеться рідкісна подія.
Ця формула застосовується у прикладних розробках, в теорії масовогообслуговування (теорії черг), яка використовується для розрахункуоптимального числа точок обслуговування, числа бензоколонок, числа робочихмісць операціоністів в банку (таке число, щоб не було черг).
Крім того, формула Пуассона застосовується в ситуаціях, коли непотрібна висока точність розрахунків, а ймовірність події p невелика.
10. Локальна теорема де Муавра-Лапласа.
У 1730 р. формула для наближення розрахунку значень для випадку, колиp = q = 0,5 запропонував французький математик де Муавр.
Пізніше в 1783 р. Лаплас узагальнив результати, отримані де Муавром, всвоєї теореми. Якщо ймовірність появи події p Е в кожному випробуванніпостійна і відмінна від 0 і 1, то ймовірність появи події Е в nвипробуваннях одно k раз наближено дорівнює значенню функції:
Створені спеціальні таблиці значень функції залежно відвеличини t. t - стандартизоване значення.
Приклад: Знайти ймовірність того, що 80 з 1000 придбають чоловічувзуття, якщо ймовірність покупки взуття p = 0,11 (за даними з спостережень запопередній період).
1)
Оскільки у функції використана парна ступінь t - функціяпозитивна, то є.
Таким чином, тільки в 404 випадках з 1 млн. рівно 80 з 1000відвідувачів придбають чоловіче взуття.
2)
Таким чином, у 242 випадках з 10000 рівно 120 з 1000 відвідувачівпридбають чоловіче взуття.
11. Інтегральна формула Лапласа.
Локальна теорема Лапласа має важливе значення, проте її практичнезначення обмежена. На практиці важливо знати ймовірність того, що подія
Е відбудеться кількість разів, задане в певних межах.
Приклад: Вірогідність придбання покупцями чоловічого взуття від 80 до
120 чоловік з 1000.
, тобто, дорівнює сумі ймовірностей несумісні подій покупки
1000 відвідувачів конкретного числа пар взуття в межах від 80 до 120 парвзуття.
Кожне з доданків визначається по локальній формулі Лапласа. Високатрудомісткість завдання очевидна, тому раціональним способом вирішення завданняє інтегрування локальної функції Лапласа.
Якщо ймовірність p появи подій Е в кожному випробуванні постійна івідмінна від 0 і 1, то
, при цьому
Інтегрована функція описує розподіл ймовірності повноїгрупи подій, тому її загальна площа в межах зміни t від до
дорівнює 1.
Оскільки функція асимптотично наближається до осі абсцис в межахзміни t від до -5, а так само від 5 до вважається, що одиницідорівнює площа кривої в межах ординат.
Значення функції дані в додатку 3, вони зазначені в межах від-t до
+ t.
Приклад: від 80 до 120
Таким чином, у 84 випадках зі 100.
Складаючи і віднімаючи площі , які визначаються за таблицями завжди можнаодержати необхідний результат.
12. Залежні події. Гіпергеометричний розподіл.
Для виведення функції Гіпергеометричний розподілу проводятьсявипробування (вибірка) за схемою неповернутих кулі. У цьому випадкуймовірність появи події Е k-раз на n залежних випробуваннях піддаєтьсявпливу не тільки числа відбираються одиниць n, а й всієї чисельностігенеральної сукупності N.
Якщо p частка одиниць генеральної сукупності, що володіють вивчаютьсяознакою, а q - частка необладающіх цим ознакою, то ймовірність появиподії Е k раз n залежних випробувань визначається за формулою:
, де - число сполучень із pN = M елементів генеральноїсукупності, що володіють вивчаються ознакою за k; - число сполученьз qN = NM одиниць, необладающіх вивчаються ознакою nk одиниць; --число результатів, що задовольняють і не задовольняють даного випробування.
Математичне сподівання Гіпергеометричний розподілу не залежитьвід обсягу генеральної сукупності і як в Біноміальний розподілвизначається за формулою:
, де - коригує дисперсію при бесповторном відборі взалежно від чисельності вибірки і генеральної сукупності.
Якщо чисельність генеральної сукупності достатньо велика, то,в цьому випадку, то, тобто, знаючи параметри біноміальногорозподілу завжди можна розрахувати параметри Гіпергеометричний.
13. Нормальний розподіл.
Нормальний розподіл - це найбільш важливий вид розподілу встатистиці.
Нормально розподіляються значення ознаки під впливом безлічірізних причин, які практично не взаємопов'язані один з одним івплив кожної з яких порівняно мало, у порівнянні з дією всіхінших факторів.
Нормальний розподіл відображає варіацію значень ознаки у одиницьоднорідної сукупності. Такий розподіл спостерігається переважнов природно-наукових випробуваннях (вимірювання росту, ваги).
У соціально-економічні явища нормального розподілу данізустрічаються рідко. Тут завжди присутні причини істотнощо впливають на рівень досліджуваного ознаки (результат управлінськоговпливу).
Проте, гіпотеза про нормальний розподіл вихідних даних лежитьв основі методології аналізу взаємозв'язків вибіркового методу і багатьохінших статистичних методів.
При достатньо великому числі випробувань нормальна крива служитьмежею, до якого прагнуть багато видів розподілу, в тому числібіноміальна і Гіпергеометричний.
Нормальний розподіл виражається функцією виду:
Ця функція характеризує щільність нормального розподілуймовірно, її математичне сподівання, а показник ступеня --стандартне значення відхилень емпіричних даних відсередньоарифметичним.
Масштабування даних кривої по осі x здійснюється величинамисереднє відхилення. Так як показник ступеня функціїзведе в парну ступінь, функція позитивна, крива симетричнащодо середньої, тобто показник асиметрії дорівнює. Показникексцесу кривої нормального розподілу так само дорівнює 0.
Значення параметрів і впливають на форму і положення графікана координатної площини. Зі зміною при крива ковзаєуздовж осі x. Зі зміною при чим більше тим більшеплосковершінной стає нормальна крива. Нормальна крива має точкиперегину з координатами. Площа, обмежена функцією і ординат,проведеними з точок з координатами:
становить 0,6827 площі всієї кривої;
- 0,9545 площі всієї кривої;
- 0,9973 площі всієї кривої .
14. Порівняльна оцінка параметрів емпіричного і нормального розподілів. Критерій Пірсона.
Нормальний характер розподілу свідчить про кількіснуоднорідності статистичних даних і про відсутність будь-яких причиністотним чином визначають варіацію досліджуваного явища.
Тому статистичний аналіз нерідко починається з перевірки того, якфактично (емпірично) дані лягають на ідеальну теоретичну кривуабо апроксіміруются (тобто вираз даних будь-якої кривої) порівнянняемпіричних і теоретичних даних. Проводиться шляхом оцінки гіпотезинормального характеру розподілу. Ймовірнісні статистичніприпущення висуваються у вигляді нульової гіпотези. Відхилення данихемпіричних від нормальних носять випадковий характер. Оцінку нульовийгіпотези в даному випадку здійснюють графічним методом або шляхом розрахункуспеціальних узагальнюючих показників подібності, які називаються критеріямизгоди.
Незалежно від обраного методу генеральні ряди розподілуперетворюються в дискретні і стандартизуються.
Приклад: Відомо, що середньомісячна заробітна плата всіх робочих
= 1402,42 руб. Середньоквадратичне відхилення = 338,58 руб.
Дані розподілу середньомісячної заробітної плати.
Середньо-місячна заробітна плата | Число раб-ков, (емпір.) |
| | | |
(теор.) | | | | | До 700 | 16 | 600 | -2,37 | -2,81 | 0,0241
| 12,93 | 3,07 | 9,41 | 0,73 | | 700,1-900 | 56 | 800 | -1,78 | -1,58 | 0,0819 | 44,04
| 11,96 | 142,95 | 3,25 | | 900,1-1100 | 89 | 1000 | -1,19 | -0,71 | 0,1969 | 105,82
| -16 , 82 | 282,90 | 2,67 | | 1100,1-1300 | 172 | 1200 | -0,60 | -0,18 | 0,3337
| 179,35 | -7,35 | 54, 05 | 0,30 | | 1300,1-1500 | 244 | 1400 | -0,01 | 0,00 | 0,3989
| 214,44 | 29,56 | 873,70 | 4,07 | | 1500,1-1700 | 163 | 1600 | 0,58 | -0,17 | 0,3365
| 180,87 | -17,87 | 319,44 | 1,77 | | 1700,1-1900 | 93 | 1800 | 1,17 | -0,69 | 0,2002
| 107,62 | -14,62 | 213,80 | 1,99 | | 1900,1-2100 | 64 | 2000 | 1, 76 | -1,56 | 0,0840
| 45,17 | 18,83 | 354,42 | 7,85 | | Понад 2100,1 | 13 | 2200 | 2,36 | -2,77 | 0 , 0249
| 13,38 | -0,38 | 0,14 | 0,01 | | Разом | 910 | | | | | | | | 22,63 | |
У зв'язку з тим, що табличні значення розраховані для безперервнозмінюється ознаки з дисперсією рівною 1, необхідно скоригуватиотримані частості на фактичну величину інтервалу ісередньоквадратичне відхилення.
, де величина інтервалу. Так як всі інтервали рівні
, Тоді.
Графіки не дозволяють визначити наскільки істотні відхилення,тому більш точним вважається спосіб розрахунку критеріїв згоди. НайбільшНайвідоміший з них:
Згідно з формулою, чим сильніше збіг кривих, тим меншевеличина. За відсутності відхилень, але навіть при невеликихвідхиленнях величина залежить від числа доданків (тобто від числагруп). Якщо> 0, то необхідна його ймовірна оцінка (стор. 368).
- число ступенів свободи і задана ймовірність неістотністьвідхилень емпіричних даних і теоретичних. r - кількість груп, k - числопараметрів, які не можна змінити.
Оскільки фактичне значення (22,63) набагато більше табличного
(5,348) навіть для ймовірності 0,5, гіпотеза про випадковий характер відхиленьемпіричних даних від теоретичних відхиляється.
