Міністерство освіти Російської Федерації
Рязанська Державна Радіотехнічна Академія
Кафедра НГЧ
Реферат
з інженерної та комп'ютерної графіки
на тему:
«Криві лінії і поверхні»
Виконав: студент групи 351
Литвинов Є.П.
Проверила:
Литвинова Т.М.
Рязань 2003.
Зміст
1.Вступ ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 3
2. Плоскі криві лінії. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 4
3. Загальні відомості про поверхнях. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 5
4. Поверхні обертання лінійчатих. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 6
5. Поверхні обертання нелінейчатие. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 8
6. Поверхні з площиною паралелізму. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 11
7. Поверхні, що задаються каркасом. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... 12
8. Просторові криві лінії. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ..... 13
9. Список використаної літератури. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 14
Введення.
Лінії займають особливе становище в нарисної геометрії. Використовуючилінії, можна створити наочні моделі багатьох процесів і простежити їхпротягом в часі. Лінії дозволяють встановити та дослідити функціональнузалежність між різними величинами. За допомогою ліній вдається вирішуватибагато наукових і інженерні завдання, вирішення яких аналітичним шляхомчасто призводить до використання надзвичайно громіздкого математичногоапарату.
Лінії широко використовуються при конструюванні поверхонь різнихтехнічних форм.
Плоскі криві лінії
Крива лінія - це траєкторія переміщує точки. Якщо крива лініяпоєднується усіма точками з площиною, її називають плоскою. Порядкомплоскою алгебраїчної кривої вважають Максимальна кількість точок їїперетину з прямою лінією. До плоским кривим відносять всі криві другогопорядку. На рис.1 показано побудова цих кривих і наведено їхканонічні рівняння.
Еліпс є геометричне місце точок М, для яких сумавідстаней до точок F1 і F2 площині постійна і дорівнює великої осі АВ
(рис. 1, а). Точки F1 і F2 називають фокусами. Побудуємо точку, що належитьеліпсу, якщо дані фокуси F1, F2 і вершини А, В. Для цього на осі АВ беремодовільну точку L і з фокуса F проводимо дугу кола радіусом АL.
Потім з фокуса F2 чорти дугу радіусом ВL, що перетинає перший в дугуточці М. Таким чином, F1M + F2M = АВ.
При рівних осях еліпс перетворюється в коло, що єгеометричним місцем точок площини, рівновіддалених від даної точки Про
(рис. 1, б).
параболою є геометричне місце точок М, для якихвідстані до точки F площині і до прямої KN, не проходить через точку
F, рівні
(рис. 1, в).
Рис. 1
Вершина Про параболи ділить відстань від точки F до прямої KN навпіл.
Крапку F називають фокусом, пряму KN - директоркою. Побудуємо точку М,що належить параболі, якщо дано фокус F і директриса KN. Для цьогопроводимо пряму LM// KN і з точки F засікаємо її дугою кола радіусом
MN. Отже, MN = MF.
гіперболою є геометричне місце точок М, для яких різницявідстаней до точок F1 і F2 площині постійна і дорівнює відстані міжвершинами А та В кривої (рис. 1, г). Точки F1 і F2 називаютфокусамі, вісь Х --дійсною віссю, а Y - уявної.
Загальні відомості про поверхнях.
Поверхня - це геометричне місце лінії, що рухається впросторі за певним законом. Цю лінію називають що утворює. Вонаможе бути прямою, тоді утворену їй поверхню відносять до класулінійчатих. Якщо твірна - крива лінія, поверхня вважаютьнелінейчатой. Лінію, по якій переміщують утворюючу, називаютьнаправляє. Як остання іноді використовують слід поверхні.
визначником поверхні називають сукупність умов, які задаютьповерхню в просторі.
Поверхня вважають заданою, якщо можна побудувати проекції будь-якої їїщо утворює. Одну й ту саму поверхню можна утворити рухом різнихліній. Наприклад, сфера утворюється обертанням кола навколо її діаметра.
Розглянуті нижче поверхні класифіковані в такий спосіб.
I. Поверхні обертання лінійчатих.
1. Конус.
2. Циліндр.
3. Однополостний гіперболоїд.
II. Поверхні обертання нелінейчатие.
1. Куля.
2. Тор (кругової, параболічний, еліптичний).
3. Еліпсоїд (витягнутий і стиснутий).
4. Двуполостний гіперболоїд.
5. Параболоїд.
6. Поверхня обертання загального вигляду.
III. Поверхні з площиною паралелізму.
1. Ціліндроід.
2. Коноід (гелікоіди).
3. Гіперболічний Параболоїд.
IV. Поверхні, що задаються каркасом.
Поверхні обертання лінійчатих.
Всі поверхні цього класу утворені обертанням прямої лінії навколоінший прямий. Дві прямі можуть займати відносно один одного трирізних положення. Кожному з них відповідає своя поверхнюобертання.
1. Конус утворюють обертанням прямої OD навколо перетинаються з нею осі
Z (рис. 2, а). Координатні площині XOZ і YOZ розсікають конус попересічним прямим OD, OE, OK і OF; площину XOZ дає в перетині точку
О; площина, паралельна XOY, перетинає по колу (DFEK).
Рис. 2
Для побудови точки, що належить кривій поверхні, її поверхнімаємо в своєму розпорядженні на проекціях лінії, що лежить на цій поверхні.
Конус бере участь в утворенні форми діаграми спрямованості антени,поверхні положення об'єкта в просторі, антени і її опромінювача,дифузора гучномовця, резонатора, відбивача радіохвиль,Електроннопроменева трубок та електронних ламп, світловода, деталей вакуумнихустановок і так далі.
2. Циліндр утворюють обертанням прямої ЕD навколо паралельної їй осі Z
(рис. 2, б, в)
Рис. 2 б) в)
Площини XOZ і YOZ перетинають його вздовж паралельних прямих ED, FK,
NP, LM, а площина XOY і їй паралельні - по окружностях DPKM і (ENFL).
Циліндр застосовують при утворенні форми хвилеводів, антен,амортизаторів приладів, дзеркал лазерів, корпусів датчиків і так далі.
3. Однополостний гіперболоїд утворюють обертанням прямої ED навколосхрещуються з нею осі Z (рис. 3).
Рис. 3
Площини XOZ і YOZ перетинають його по гіпербол FK, LM, PQ і RS, аплощина XOY і їй паралельні - по окружностях (GU, FPLR і KQMS). Приобертанні точок D і Е їх проекції d і е переміщуються по колу, апроекції d і e - по прямих, паралельних осі Х. Точка U прямий DE, ближчеінших розташована до осі обертання, описує окружність UU1 найменшогодіаметра. Цю окружність називають горлом поверхні. Промені, які проектуютьбудь-яку поверхню, стосуються її в точках, що утворюють контурну лінію.
Відповідна проекція цієї лінії називається нарисом поверхні.
Форму однополостного гіперболоїда імеютнекоторие радіощогли. Він такожутворює форму вібраційних живильників, що використовуються в промисловійавтоматики, кулачків, з'єднувачів контактів і так далі.
Поверхні обертання нелінейчатие.
До цього класу відносять в основному поверхні, утворені обертаннямкривих другого порядку.
1. Сферу утворюють обертанням кола навколо її діаметра (рис. 4).
Будь-яка площина перетинає сферу по колу. Нарис фронтальної проекціїсфери називають головним меридіаном, нарис горизонтальної проекції --екватором. Проекції точки К, що лежить на поверхні сфери, належатьпроекція горизонтальної кола, проведеної на сфері.
Рис. 4
Сфера утворює форму діаграми спрямованості антен, обтічника івипромінювача антени, головки мікрофона, контактів реле і так далі. Сферає поверхнею положення об'єкта в просторі.
2. Круговой тор утворюють обертанням кола навколо осі, що лежить вплощині цієї окружності і що не є її діаметром. Таким чином,сферу можна розглядати як окремий випадок тора. Розрізняють тор-кільце,коли вісь обертання не перетинає утворить коло, і тор-бочку.
У радіотехніці використовують також параболічний і еліптичний тор.
Параболічний тор утворюють обертанням параболи навколо прямої, що лежитьв площині цієї параболи і що не є її фокальній віссю.
Еліптичний тор утворюють обертанням еліпса навколо прямої, що лежить вплощині цього еліпса і що не є його віссю.
торові поверхні мають діаграми спрямованості антен,поверхні положення об'єкта в просторі, антени і їх обтічники,хвилеводи, резонатори, гучномовці і так далі.
3. Еліпсоїд утворюють обертанням еліпса навколо його малої або великийосі. У першому випадку отримують стиснений (рис. 5, а), а в другому - витягнутийеліпсоїди обертання (рис. 5, б).
Рис. 5 а) б)
Площини XOZ і YOZ перетинають їх по еліпсах DE і EF, а площина XOY
- По колу DF.
Форму еліпсоїда мають дзеркала антен і лазерів, випромінювачі антен,поверхні положення і так далі.
4. Двуполостний гіперболоїд утворюють обертанням гіперболи DEнавколо її дійсної осі FF1 (рис. 6).
Рис. 6
Площини XOZ і YOZ перетинають його по гіпербол DE і KE; площину
XOY дає в перетині уявну точку О.
Форму його мають дзеркала антен, поверхні положення об'єкта впросторі і так далі.
5. Параболоїд утворюють обертанням параболи OD навколо її фокальної осі
OF (мал. 7).
Рис.
7
Дзеркала антен і лазерів найчастіше виготовляють параболічними.
6. Поверхня обертання загального вигляду утворюють обертанням довільноїкривий.
Поверхні з площиною паралелізму.
Всі поверхні цього класу - лінійчатих.
1. Ціліндроід утворюють переміщенням прямої за двома кривимнапрямних, коли твірна залишається паралельної заданій площині.
Форму ціліндроіда мають деякі об'ємні графіки, що застосовуються в теоріїоптимального регулювання, а також хвилеводи.
2. Коноід утворюють прямий переміщенням по кривій лінії і прямий,коли твірна залишається паралельної заданій площині. Приватним випадкомконоіда є прямою гелікоіди, утворений переміщенням прямої погвинтовий лінії та її осі, коли твірна залишається паралельної заданоїплощині.
3. Гіперболічний Параболоїд або косу площину утворюютьпереміщенням прямої за двома схрещуються прямим, коли твірназалишається паралельної деякій площині. Отримана поверхня маєсідлообразна форму (рис. 8).
Рис. 8
Площини XOZ і YOZ перетинають цю поверхню по парабола OD і OE;площини паралельні XOZ і YOZ, також дають в перетині параболи; площину
XOZ перетинає поверхню по двох пересічних прямих OL і OK, аплощині, паралельні XOZ, - по гіпербол (EN і DM).
Поверхні, що задаються каркасом.
До них відносяться поверхні, освіта яких не підпорядковановизначеному геометричному закону. Ці поверхні задають каркасом --сімейством ліній, що належать їм і паралельних координатним площинах (рис. 9).
Рис. 9
На рис. 9 зображений об'ємний графік, який використовується в радіотехніці.
Поверхня визначена кривими лініями, одне сімейство яких (CD)паралельно площині XOZ, а інше (АВ) - площині YOZ. Точка Мповерхні визначена як точка перетину кривих АВ і CD.
У радіоелектроніці та автоматики зустрічаються поверхні другупорядку загального вигляду: еліптичні конус і циліндр, параболічний ігіперболічний циліндри і так далі.
Просторові криві лінії.
Якщо криву лінію без її деформації не можна поєднати з усіма точкамиплощиною, то її називають просторової. До таких кривим відносятьгвинтові лінії.
Гвинтова лінія - це траєкторія руху точки, рівномірнопереміщається уздовж твірної, яка рівномірно обертається навколо осіцієї поверхні. Гвинтові лінію називають правою, якщо на видимій стороніповерхні вона йде зліва вгору направо (мал. 10, а); інакшеїї називають лівої (мал. 10, б).
Відстань S, яке проходить точка вздовж що утворює за один її оборот,називають кроком гвинтовий лінії. Побудова всіх гвинтових ліній однотипно.
Рис. 10 а) б)
Список використаної літератури.
1. Анісімов І. К. Конспекти лекцій з нарисної геометрії. - Р.
1970.
2. Фролов С. А. Нарисна геометрія: підручник для вузів. - М.:
Машинобудування, 1983.
-----------------------< br>
