Балансової моделі
Вивчення балансових моделей, що представляють собою один з найважливіших напрямків та економіко-математичних досліджень, повинно служити об'єктом вивчення окремої дисципліни. Наша мета - проілюструвати на прикладі балансових розрахунків застосування основних понять лінійної алгебри.
ЛІНІЙНЕ балансової моделі
Нехай розглядається економічна система, що складається з n взаємопов'язаних галузей виробництва. Продукція кожній галузі частково йде на зовнішнє споживання (кінцевий продукт), а частково використовується в якості сировини, напівфабрикатів або інших засобів виробництва в інших галузях, в тому числі і в даній. Цю частину продукції називають виробничим споживанням. Тому кожна з розглянутих галузей виступає і як виробник продукції (перший стовпець таблиці 1) і як її споживач (перший рядок таблиці 1).
Позначимо через xi валовий випуск продукції i-й галузі за планований період і через yi - кінцевий продукт, що йде на зовнішнє для даної системи споживання (засоби виробництва інших економічних систем, споживання населення, освіта запасів і т.д.).
Таким чином, різниця xi - yi складає частину продукції i-й галузі, призначену для внутрішньовиробничого споживання. Будемо надалі вважати, що баланс складається не в натуральному, а у вартісному розрізі.
Позначимо через xik частина продукції i-й галузі, яка споживається k-й галуззю, для забезпечення її випуску продукції в розмірі хk.
Очевидно, величини, розташовані в рядках таблиці 1 зв'язані наступними балансовими рівність:
х1 - (х11 + х12 + (+ х1n) = у1
2 - (х21 + х22 + ... + х2n) = у2 (1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xn - (xn1 + xn2 + ... + xnn) = yn
Одне із завдань балансових досліджень полягає в тому, щоб на базі даних про виконання балансу за попередній період визначити вихідні дані на планований період.
Будемо забезпечувати штрихом (х'ik, y'i і т.д.) дані, що відносяться до минулого періоду, а тими ж буквами, але без штриха - аналогічні дані, пов'язані з запланованим періодом. Балансові рівності (1) повинні виконуватися як в минулому, так і в планованому періоді.
Будемо називати сукупність значень y1, y2, ..., yn, що характеризують випуск кінцевого продукту, асортиментним вектором:
у = (у1, у2, ..., yn), (2)
а сукупність значень x1, x2, ..., xn, що визначають валовий випуск всіх галузей (вектор-планом:
x = (x1, x2, ..., xn). (3)
Залежність між двома цими векторами визначається балансовими рівності (1). Однак вони не дають можливості визначити по заданому, наприклад, вектор у необхідний для його забезпечення вектор-план х, тому що крім шуканих невідомих хk, містять n2 невідомих xik, які у свою чергу залежать від xk.
Тому перетворимо ці рівності. Розрахуємо величини aik з співвідношень:
      xik
aik = --- (i, k = 1, 2, ..., n).
       xk
Величини aik називаються коефіцієнтами прямих витрат або технологічними коефіцієнтами. Вони визначають витрати продукцій i-й галузі, які використовуються k-й галуззю на виготовлення її продукції, і залежать головним чином від технології виробництва в цій k-й галузі. З деяким наближенням можна вважати, що коефіцієнти aik постійні у деякому проміжку часу, що охоплює як минулий, так і планований період, тобто, що
x'ik xik
- = --- = Aik = const (4)
x'k xk
Виходячи з цієї пропозиції маємо
xik = aikxk, (5)
тобто витрати i-й галузі в k-у галузь пропорційні її валовому випуску, або, іншими словами, лінійно залежать від валового випуску xk. Тому рівність (5) називають умовою лінійності прямих витрат.
 Розрахувавши коефіцієнти прямих витрат aik за формулою (4), використовуючи дані про виконання балансу за попередній період або визначивши їх іншим чином, отримаємо матрицю
a11 a12 ... a1k ... a1n
 a21 a22 ... a2k ... a2n
A = ... ... ... ... ... ... ....
   ai1 ai2 aik ... ... ain
an1 an2 ... ank ... ann
яку називають матрицею витрат. Зауважимо, що всі елементи aik цієї матриці невід'ємні. Це записують скорочено у вигляді матричного нерівності А> 0 і називають таку матрицю невід'ємне.
 Завданням матриці А визначаються всі внутрішні взаємозв'язки між виробництвом та споживанням, що характеризуються табл.1
Підставляючи значення xik = aik = xk в усі рівняння системи (1), отримаємо лінійну балансову модель:
x1 - (a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn) = y1
x2 - (a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn) = y2 (6)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
xn - (an1x1 + an2x2 + ... + annxn) = yn,
характеризує баланс витрат - випуску продукції, представлений у табл.1
Система рівнянь (6) може бути записана компактніше, якщо використовувати матричну форму запису рівнянь:
Е (х - А (х = У, або остаточно
(Е - А) (х = У, (6 ()
де Е - одинична матриця n-го порядку і
1-a11-a12 ...-a1n
E - A =-a21 1-a22 ...-a2n
    ... ... ... ... ... ... ...
  -an1-an2 ... 1-ann
Рівняння (6) містять 2n змінних (xi і yi). Тому, поставивши за значеннями n змінних, можна із системи (6) знайти інші n - змінних.
Будемо виходити з заданого асортиментного вектора У = (y1, y2, ..., yn) і визначати необхідну для його виробництва вектор-план Х = (х1, х2, ... хn).
Проілюструємо викладене на прикладі гранично спрощеної системи, що складається з двох виробничих галузей:
Нехай виконання балансу за попередній період характеризується даними, вкладеними в табл.2
Розраховуємо за даними цієї таблиці коефіцієнти прямих витрат:
 100 160 275 40
---- = 0.2; А12 = ---- = 0.4; а21 = ---- = 0.55; А22 = ---- = 0.1
  500 400 500 400
Ці коефіцієнти записані в табл.2 в кутах відповідних клітин.
Тепер може бути записана балансова модель (6), відповідна даними табл.2
х1 - 0.2х1 - 0.4х2 = у1
х2 - 0.55х1 - 0.1х2 = у2
Ця система двох рівнянь може бути використана для визначення х1 і х2 при заданих значеннях у1 та у2, для використання впливу на валовий випуск будь-яких змін в асортименті кінцевого продукту і т.д.
Так, наприклад, поставивши за у1 = 240 і у2 = 85, отримаємо х1 = 500 і х2 = 400, задавшись у1 = 480 і у2 = 170, отримаємо х1 = 1000 і х2 = 800 і т.д.
РІШЕННЯ Балансовий Рівняння
ЗА ДОПОМОГОЮ ЗВОРОТНЬОГО МАТРИЦІ.
Коефіцієнтів повних ВИТРАТ.
Повернемося знову до розгляду балансового рівняння (6).
Перше питання, яке виникає при його дослідження, це питання про існування при заданому векторі У> 0 невід'ємне рішення х> 0, тобто про існування вектор-плану, що забезпечує даного асортименту кінцевого продукту У. Будемо називати таке рішення рівняння (6 () припустимим рішенням.
Амет, що за будь-якої невід'ємне матриці А стверджувати існування невід'ємне рішення не можна.
Так, наприклад, якщо
0.8 0.1 -0.8 і рівняння (6 ()
А =, то Е - А =
0.6 0.9 -0.6 0.1
запишеться у вигляді 0.1 -0.8 х1 у1 або в розгорнутій формі
-0.6 0.1 х2 у2
0.1х1 - 0.8х2 = у1 (?)
-0.6х1 + 0.1х2 = у2
Склавши ці два рівняння почленно, отримаємо рівняння
-0.5х1 - 0.7х2 = у1 + у2,
яке не може задовольнятися невід'ємним значень х1 і х2, якщо тільки у1> 0 і у2> 0 (крім х1 = х2 = 0 при у1 = у2 = 0).
Нарешті рівняння взагалі може не мати рішень (система (6) - несумісні) або мати безліч рішень (система (6) - невизначена).
Наступна теорема, доказ якої ми опускаємо, дає відповідь на поставлене запитання.
Теорема. Якщо існує хоча б один невід'ємні вектор х> 0, що задовольняє нерівності (Е - А) (г> 0, тобто якщо рівняння (6 () має невід'ємне рішення x> 0, хоча б для одного У> 0, то воно має для будь-якого У> 0 єдине невід'ємне рішення.
При цьому виявляється, що обернена матриця (Е - А) буде обов'язково невід'ємне.
З способу утворення матриці витрат випливає, що для попереднього періоду виконується рівність (Е-А) (х (= У (, де вектор-план х (і асортиментний вектор У (визначаються на сповненому балансу за минулий період, при цьому У (> 0 . Таким чином, рівняння (6 () має одне невід'ємне рішення x> 0. На підставі теореми укладаємо, що рівняння (6 () завжди має допустимий план і матриця (Е - А) має зворотну матрицю.
Позначивши зворотну матрицю (Е - А) -1 через S = | | sik + | |, запишемо рішення рівняння (6 (() у вигляді
х = S (У (7)
Якщо буде задано вектор - кінцевий продукт У і обчислено матриця S = (E - A) -1, то за цією формулою може бути визначений вектор-план х.
Рішення (7) можна представити в розгорнутій формі:
x1 = S11y1 + S12y2 + ... + S1nyn
x2 = S21y1 + S22y2 + ... + S2nyn (8)
... ... ... ... ... ... ... ...
xn = Sn1y1 + Sn2y2 + ... + Snnyn
ПОВНІ Внутрішньовиробничі
ВИТРАТИ.
З'ясуємо економічний сенс елементів Sik матриці S.
усть проводиться тільки одиниця кінцевого продукту 1-й галузі, тобто
Підставляючи цей вектор у рівність (7), отримаємо
З рівності (9) випливає наступне:
Щоб випустити тільки одиницю кінцевого продукту k-й галузі, необхідно в 1-й галузі випустити х1 = S1k, в 2-й х2 = S2k і т.д., в i-й галузі випустити xi = Sik і, нарешті, в n -й галузі випустити xn = Snk одиниць продукції.
Так при цьому вигляді кінцевого продукту виробництва лише одиниця k-го продукту, то величини S1k, S2k, ..., Sik, ..., Snk, являють собою коефіцієнти повних витрат продукції 1-й, 2-й і т.д., n-й галузей йде на виготовлення зазначеної одиниці k-го продукту. Ми вже ввели раннє коефіцієнти прямих витрат a1k, a2k, ..., aik, ..., ank на одиницю продукції k-й галузі, які враховували лише ту частину продукції кожної галузі, яка споживається безпосередньо k-й галуззю. Але, очевидно, необхідно забезпечити замкнутий виробничий цикл. Якби продукція i-ї галузі надходила б тільки в k-у галузь в кількості aik, то виробництво k-й галузі все одно не було б забезпечено, бо треба було ще продукти 1-й галузі (a1k), 2-й галузі (a2k ) і т.д. А вони в свою чергу не зможуть працювати, якщо не будуть отримувати продукцію тієї ж i-й галузі (ai1, ai2, ... і т.д.). Проілюструємо сказане на прикладі табл.2
Хай нас не цікавить випуск для зовнішнього споживання продукції 2-й галузі (k = 2) і ми хочемо визначити витрати продукції 1-й галузі на одиницю цієї продукції. З табл.2 знаходимо, що на кожну одиницю продукції 2-й галузі (х2 = 1) витрачається: продукції 1-й галузі a12 = 0.4 і 2-й галузі a22 = 0.1.
Такі будуть прямі витрати. Нехай потрібно виготовити у2 = 100. Чи можна для цього планувати випуск 1-й галузі х1 = 0.4 (100 = 40? Звичайно, не можна, тому що необхідно враховувати, що 1-а галузь частину своєї продукції споживає сама (а11 = 0.2), і тому сумарний її випуск слід скорегувати: х1 = 40 +0.2 (40 = 48. Однак і ця цифра є неправильною, тому що зараз, вже слід виходити з нового обсягу продукції 1-й галузі - х1 (= 48 і т.д. Але справа не тільки в це нам. Згідно з табл.2 продукція 2-й галузі також необхідна для виробництва і 1-й і 2-й галузей і тому потрібно випускати більше, ніж у2 = 100. Але тоді зростуть потреби у продукції 1-й галузі. Тоді досить звернутися до складеної систем рівнянь, поклавши у1 = 0 і у2 = 1 (см п.2):
0.8х1 - 0.4х2 = 0
-0.55х1 + 0.9х2 = 1
Вирішивши цю систему, отримаємо х1 = 0.8 і х2 = 1.5. Отже, для того щоб виготовити одиницю кінцевого продукту 2-й галузі, необхідно в 1-й галузі випустити продукції х1 = 0.8. Цю величину називають коефіцієнтом повних витрат і позначають її через S12. Таким чином, якщо А12 = 0.4 характеризує витрати продукції 1-й галузі на виробництво одиниці продукції 2-й галузі, які використовуються безпосередньо в 2-й галузі (чому вони і були названі прямі витрати), то S12 враховують сукупні витрати продукції 1-й галузі як прямі (А12), так і непрямі витрати, що реалізуються через інші (в даному випадку через 1-ю ж) галузі, але в кінцевому рахунку необхідні для забезпечення випуску одиниці кінцевого продукту 2-й галузі. Ці непрямі витрати становлять S12-a12 = 0.8-0.4 = 0.4
Якщо коефіцієнт прямих витрат обчислюється на одиницю валового випуску, наприклад А12 = 0.4 при х2 = 1, то коефіцієнт повних витрат розраховується на одиницю кінцевого продукту.
Отже, величина Sik характеризують повні витрати продукції i-ї галузі для виробництва одиниці кінцевого продукту k-й галузі, що включають як прямі (aik), так і непрямі (Sik - aik) витрати.
Очевидно, що завжди Sik> aik.
Якщо необхідно випустити уk одиниць k-го кінцевого продукту, то відповідний валовий випуск кожної галузі складе на підставі системи (8):
x1 = S1k (yk, x2 = S2k (yk, ..., xn = Snk (yk,
то можна записати коротше у вигляді:
x = Sk (yk (10)
Нарешті, якщо потрібно випустити набір кінцевого продукту, заданий асортимент-
вим вектором У =:, то валовий випуск k-й галузі xk, необхідний для його
              забезпечення, визначиться на підставі рівностей (10) як скалярний добуток стовпця Sk на вектор У, тобто
xk = Sk1y1 + Sk2y2 + ... + Sknyn = Sk (y, (11)
а весь вектор-план х знайдеться з формули (7) як добуток матриці S на вектор У.
Таким чином, підрахувавши матрицю повних витрат S, можна за формулами (7) - (11) розрахувати валовий випуск кожної галузі і сукупний валовий випуск всіх галузей при будь-якому заданому асортиментному векторі У.
Можна також визначити, яке зміна у вектор-плані? Х = (? Х1,? Х2, ...,? Хn) викличе заданий зміна асортиментного продукту? У = (? У1,? У2, ...,? Уn) за формулою:
ОЛНИЕ ВИТРАТИ ПРАЦІ КАПІТАЛОВКЛАДЕНЬ І Т.Д.
Розширимо табл.1, включивши в неї, крім продуктивних витрат xik, витрати праці, капіталовкладень і т.д. по кожній галузі. Ці нові джерела витрат впишуться в таблицю як нові n +1- я, n +2- я і т.д. додаткові рядки.
Позначимо витрати праці в k-у галузь через xn +1, k, і витрати капіталовкладень - через xn +2, k (де k = 1, 2, ..., n). Подібно до того як вводились прямі витрати aik,
                                                                                                                
                                               xn +2, k
капіталовкладень an 2, k = -----, що представляють собою витрати відповідного
                                                  xk
ресурсу на одиницю продукції, що випускається k-й галуззю. Включивши ці коефіцієнти в структурну матрицю (тобто дописав їх у вигляді додаткових рядків), одержимо прямокутну матрицю коефіцієнтів прямих витрат:
При рішення балансових рівнянь, як і раніше використовується лише основна частина матриці (структурна матриця А). Однак при розрахунку на планований період витрат праці або капіталовкладень, необхідних для випуску цього кінцевого продукту, беруть участь додаткові рядки.
ак, хай, наприклад, виробляється одиниця продукту 1-й галузі, тобто
Для цього потрібно валовий випуск продукції
Підрахуємо необхідні при цьому витрати праці Sn +1,1. Очевидно, виходячи з сенсу коефіцієнтів an +1, k прямих витрат праці як витрат на одиницю продукції k-й галузі і величин S11, S12, ..., S1n, що характеризують скільки одиниць продукції необхідно випустити в кожній галузі, отримаємо витрати праці саме в 1 -- ю галузь як an +1,1 S11, в 2-у - an +1,2 S21 і т.д., нарешті в n-у галузь an +1, nSn1. Сумарні витрати праці, пов'язані з виробництвом одиниці кінцевого продукту 1-й галузі, складуть:
n 1,1 = an +1,1 S11 + an +1,2 S21 + ... + an +1, nSn1 = an +1 S1,
. е. рівні скалярний добуток (n +1)-го рядка розширеної матриці А (, яку позначимо an +1, на 1-й стовпець матриці S.
Сумарні витрати праці, необхідні для виробництва кінцевого продукту k-й галузі, складуть:
Sn +1, k = an +1 Sk (13)
Назвемо ці величини коефіцієнтами повних витрат праці. Повторивши всі наведені міркування при розрахунку необхідних капіталовкладень, прийдемо аналогічно попередньому до коефіцієнтами повних витрат капіталовкладень:
Sn +2, k = an 2 Sk (14)
епер можна доповнити матриць S рядками, що складаються з елементів Sn +1, k і Sn +2, k, створити розширену матрицю коефіцієнтів повних витрат: