Зміст

Введення 2
Глава I. Загальнотеоретичні аспекти вивчення алгебраїчного матеріалу впочатковій школі 7
1.1 Досвід введення елементів алгебри в початковій школі 7
1.2 Психологічні основи введення алгебраїчних понять в початковій школі 12
1.3 Проблема походження алгебраїчних понять і її значення для побудови навчального предмета 20
Глава II. Методичні рекомендації до вивчення алгебраїчного матеріалу впочатковій школі 33
2.1 Навчання в початковій школі з точки зору потреб середньої школи 33
2.1 Порівняння (протиставлення) понять на уроках математики 38
2.3 Спільне вивчення додавання і віднімання, множення і ділення 48
Глава III. Практика вивчення алгебраїчного матеріалу на уроках математикив початкових класах середньої школи № 4 м. Рильська 55
3.1 Обгрунтування використання інноваційних технологій (технології укрупнення дидактичних одиниць) 55
3.2 Про досвід ознайомлення з алгебраїчними поняттями в I класі 61
3.3 Навчання вирішення завдань, пов'язаних з рухом тел 72
Висновок 76
Бібліографічний список 79

Введення

У будь-якій сучасній системі загальної освіти математика займаєодне з центральних місць, що поза сумнівом говорить про унікальність цієїгалузі знань.

Що являє собою сучасна математика? Навіщо вона потрібна? Ці таподібні до них питання часто задають вчителям діти. І кожного разу відповідь будерізним залежно від рівня розвитку дитини та її освітніхпотреб.

Часто говорять, що математика - це мова сучасної науки. Однак,видається, що це висловлювання має істотний дефект. Моваматематики розповсюджений так широко і так часто виявляється ефективнимсаме тому що математика до нього не зводиться.

Видатний вітчизняний математик А.Н. Колмогоров писав: "Математикане просто одна з мов. Математика - це мова плюс міркування, це якб мова та логіка разом. Математика - знаряддя для роздумів. У нійсконцентровані результати точного мислення багатьох людей. За допомогоюматематики можна зв'язати одне міркування з іншим. ... Очевидні складностіприроди з її дивними законами і правилами, кожне з яких допускаєокреме дуже докладне пояснення, насправді тісно пов'язані. Однак,якщо ви не бажаєте користуватися математикою, то в цьому величезномурізноманітті фактів ви не побачите, що логіка дозволяє переходити відодного до іншого "([12], с. 44).

Таким чином, математика дозволяє сформувати певні формимислення, необхідні для вивчення оточуючого нас світу.

В даний час все більш відчутним стає диспропорція міжступенем наших пізнань природи і розумінням людини, її психіки,процесів мислення. У. У. Сойєр в книзі "Прелюдія до математики" ([20], с.
7) зазначає: "Можна навчити учнів вирішувати досить багато типів завдань,але справжнє задоволення прийде лише тоді, коли ми зуміємо передатинашим вихованцям не просто знання, а гнучкість розуму ", яка дала б їмможливість в подальшому не тільки самостійно вирішувати, але і ставитиперед собою нові завдання.

Звичайно, тут існують певні межі, про які не можназабувати: багато чого визначається вродженими здібностями, талантом. Однак,можна відзначити цілий набір факторів, що залежать від освіти та виховання.
Це робить надзвичайно важливою правильну оцінку величезних невикористанихще можливостей освіти в цілому і математичної освіти взокрема.

В останні роки намітилася стійка тенденція проникненняматематичних методів в такі науки як історія, філологія, не кажучи вжепро лінгвістики та психології. Тому коло осіб, які у своїй подальшійпрофесійної діяльності можливо будуть застосовувати математику,розширюється.

Наша система освіти влаштована так, що для багатьох школа даєєдину в житті можливість долучитися до математичної культури,оволодіти цінностями, укладеними в математиці.

Як же впливають математики взагалі і шкільної математики зокремана виховання творчої особистості? Навчання на уроках математики мистецтвувирішувати завдання робить нам виключно сприятливу можливість дляформування в учнів певного складу розуму. Необхідністьдослідницької діяльності розвиває інтерес до закономірностей, вчитьбачити красу і гармонію людської думки. Все це є на нашпогляд найважливішим елементом загальної культури. Важливе вплив робить курсматематики на формування різних форм мислення: логічного,просторово-геометричного, алгоритмічного. Будь-який творчий процеспочинається з формулювання гіпотези. Математика при відповіднійорганізації навчання, будучи гарною школою побудови та перевірки гіпотез,вчить порівнювати різні гіпотези, знаходити оптимальний варіант, ставитинові завдання, шукати шляхи їх вирішення. Крім усього іншого, вонавиробляє ще і звичку до методичної роботи, без якої не мислимо ніодин творчий процес. Максимально розкриваючи можливості людськогомислення, математика є його вищим досягненням. Вона допомагає людинів усвідомленні самого себе і формуванні свого характеру.

Це те небагато що з великого списку причин, через якіматематичні знання повинні стати невід'ємною частиною загальної культури іобов'язковим елементом у вихованні та навчанні дитини.

Курс математики (без геометрії) в нашій 10-літній школі фактичнорозбитий на три основні частини: на арифметику (I - V класи), алгебру (VI -
VIII класи) та елементи аналізу (IX - Х класи). Що служить підставою длятакого підрозділу?

Звичайно, кожна ця частина має свою особливу "технологію". Так, уарифметики вона пов'язана, наприклад, з обчисленнями, що здійснюються надбагатозначними числами, в алгебрі - з тотожними перетвореннями,логарифмуванню, в аналізі - з диференціюванням і т.д. Але які більшглибокі підстави, пов'язані з понятійним змістом кожної частини?

Наступне питання стосується підстав для розрізнення шкільної арифметикита алгебри (тобто першого і другого частини курсу). У арифметику включаютьвивчення натуральних чисел (цілих позитивних) і дробів (простих ідесяткових). Однак спеціальний аналіз показує, що поєднання цихвидів чисел в одному шкільному навчальному предметі неправомірно.

Справа в тому, що ці числа мають різні функції: перші пов'язані зірахунком предметів, другий - з вимірюванням величин. Ця обставина дужеважливо для розуміння того факту, що дробові (раціональні) числа єлише окремим випадком дійсних чисел.

З точки зору вимірювання величин, як відзначав А.Н. Колмогоров, "немаєнастільки глибокого розходження між раціональними і ірраціональнимидійсними числами. З педагогічних міркувань надовгозатримуються на раціональних числах, тому що їх легко записати у формідробів; однак то вживання, яке їм з самого початку надається,повинно було б відразу призвести до дійсних числах у всій їх спільності "
([12]), стр. 9).

А.Н. Колмогоров вважав виправданим як з точки зору історії розвиткуматематики, так і по суті пропозицію А. Лебега переходити в навчанніпісля натуральних чисел відразу до походження і логічній природідійсних чисел. При цьому, як відзначав А.Н. Колмогоров, "підхід допобудови раціональних і дійсних чисел з точки зору вимірюваннявеличин анітрохи не менш навчений, ніж, наприклад, введення раціональнихчисел у вигляді "пар". Для школи ж він має незаперечну перевагу "([12],стор 10).

Таким чином, є реальна можливість на базі натуральних (цілих)чисел відразу формувати "саме загальне поняття числа" (за термінологією А.
Лебега), поняття дійсного числа. Але з боку побудови програмице означає не більше не менше, як ліквідацію арифметики дробів в їїшкільної інтерпретації. Перехід від цілих чисел до дійсним - цеперехід від арифметики до "алгебри", до створення фундаменту для аналізу.

Ці ідеї, висловлені понад 20 років тому, актуальні й сьогодні.
Чи можливо зміна структури навчання математики в початковій школі вданому напрямку? Які достоїнства і недоліки «алгебраізаціі»початкового навчання математики? Мета цієї роботи - спробувати дати відповідіна поставлені запитання.

Реалізація поставленої мети вимагає розв'язання наступних завдань:
. розгляд загальнотеоретичних аспектів введення в початковій школі алгебраїчних понять величини і числа. Це завдання ставиться в першому розділі роботи;
. вивчення конкретної методики навчання цих понять в початковій школі.

Тут, зокрема, передбачається розглянути так звану теорію укрупнення дидактичних одиниць (УДЕ), мова про яку піде нижче;
. показати практичну застосовність розглянутих положень на шкільних уроках математики в початковій школі (уроки проводились автором в середній школі № 4 м. Рильська). Цьому присвячено третій розділ роботи.

Стосовно до бібліографії, присвяченої даному питанню, можнавідзначити наступне. Незважаючи на те, що останнім часом загальна кількістьвиданої методичної літератури з математики вкрай незначно,дефіцит інформації при написанні роботи не спостерігався. Дійсно, з
1960 (час постановки проблеми) по 1990 рр.. в нашій країні вийшло величезнекількість навчальної, наукової та методичної літератури, в тому або іншому ступенізачіпає проблему введення алгебраїчних понять в курсі математикидля початкової школи. Крім того, ці питання регулярно висвітлюються і вспеціалізованої періодиці. Так, при написанні роботи значною міроювикористовувалися публікації в журналах «Педагогіка», «Викладання математикив школі »і« Початкова школа ».

Глава I. Загальнотеоретичні аспекти вивчення алгебраїчного матеріалу в початковій школі

1.1 Досвід введення елементів алгебри в початковій школі

Зміст навчального предмета, як відомо, залежить від багатьох факторів
- Від вимог життя до знань учнів, від рівня відповідних наук,від психічних і фізичних вікових можливостей дітей і т.д. Правильнийврахування цих факторів є істотною умовою найбільш ефективногонавчання школярів, розширення їх пізнавальних можливостей. Але інодіця умова з тих чи інших причин не дотримується. У цьому випадкувикладання не дає належного ефекту як щодо засвоєння дітьми коланеобхідних знань, так і відносно розвитку їх інтелекту.

Видається, що в даний час програми викладання деякихнавчальних предметів, зокрема математики, не відповідають новимвимогам життя, рівнем розвитку сучасних наук (наприклад, математики)і з новими даними вікової психології і логіки. Ця обставина диктуєнеобхідність всебічної теоретичної та експериментальної перевіркиможливих проектів нового змісту навчальних предметів.

Фундамент математичних знань закладається у початковій школі. Але, нажаль, як самі математики, так і методисти та психологи приділяють вельмимала увага саме змісту початкової математики. Досить сказати,що програма з математики в початковій школі (I - IV класи) в основнихсвоїх рисах склалася ще 50 - 60 років тому і відбиває, природно,систему математичних, методичних і психологічних уявлень тогочасу.

Розглянемо характерні особливості державного стандарту заматематики в початковій школі. Основним її змістом є цілі числаі дії над ними, що вивчаються в певній послідовності. Спочаткувивчаються чотири дії в межах 10 і 20, потім - усні обчислення вмежі 100, усні і письмові обчислення в межах 1000 і, нарешті, вмежі мільйонів і мільярдів. У IV класі вивчаються деякі залежностіміж даними і результатами арифметичних дій, а також найпростішідробу. Поряд з цим програма передбачає вивчення метричних мір і заходівчасу, оволодіння вмінням користуватися ними для вимірювання, знання деякихелементів наочної геометрії - креслення прямокутника і квадрата,вимірювання відрізків, площ прямокутника і квадрата, обчислення обсягів.

Отримані знання та навички учні повинні застосовувати до вирішення завдань ідо виконання простих розрахунків. Протягом всього курсу рішення задачпроводиться паралельно вивчення чисел і дій - для цього відводитьсяполовина відповідного часу. Рішення завдань допомагає учням зрозумітиконкретний зміст дій, з'ясувати різні випадки їх застосування,встановити залежність між величинами, отримати елементарні навичкианалізу та синтезу. З I по IV клас діти вирішують наступні основні типизадач (простих і складових): на знаходження суми і залишку, твори іприватного, на збільшення та зменшення даних чисел, на різницеві і кратнепорівняння, на просте потрійне правило, на пропорційний поділ, назнаходження невідомого за двома різницям, на обчислення середньогоарифметичного і деякі інші види завдань.

З різними типами залежностей величин діти стикаються при вирішеннізавдань. Але дуже характерно - учні приступають до завдань після і в мірувивчення чисел, головне, що потрібно при рішенні - це знайти числовийвідповідь. Діти з великим трудом виявляють властивості кількісних відносин уконкретних, приватних ситуаціях, які прийнято вважати арифметичнимизавданнями. Практика показує, що маніпулювання числами часто замінюєдійсний аналіз умов завдання з точки зору залежностей реальнихвеличин. Завдання, що вводяться в підручники, не представляють до того ж системи, уякої більш "складні" ситуації були б пов'язані і з більш "глибокими"пластами кількісних відносин. Завдання однієї і тієї ж труднощі можназустріти і на початку, і в кінці підручника. Вони змінюються від розділу до розділуі від класу до класу по заплутаність сюжету (зростає число дій), зарангу чисел (від десяти до мільярда), за складністю фізичних залежностей
(від завдань на розподіл до задач на рух) і за іншими параметрами.
Тільки один параметр - поглиблення в систему власне математичнихзакономірностей - у них виявляється слабо, невиразно. Тому дужескладно встановити критерій математичної труднощі того чи іншого завдання.
Чому завдання на знаходження невідомого за двома різницям і на з'ясуваннясереднього арифметичного (III клас) важче завдань на різницеві і кратнепорівняння (II клас)? Методика не дає на це питання переконливого ілогічної відповіді.

Таким чином, учні початкових класів не отримують адекватних,повноцінних знань про залежності величин і загальних властивостях кількості ніпри вивченні елементів теорії чисел, бо вони в шкільному курсі пов'язані зперевазі з технікою обчислень, ні при вирішенні завдань, тому що останні неволодіють відповідною формою і не мають необхідної системи. Спробиметодистів удосконалити прийоми викладання хоча і призводять до приватнихуспіхам, однак не змінюють загального положення справи, тому що вони заздалегідьобмежені рамками прийнятого змісту.

Видається, що в основі критичного аналізу прийнятої програмиз арифметики повинні лежати наступні положення:
. поняття числа не тотожне поняттю про кількісну характеристику об'єктів;
. число не є вихідною формою вираження кількісних відносин.

Наведемо обгрунтування цих положень.

Загальновідомо, що сучасна математика (зокрема, алгебра)вивчає такі моменти кількісних відносин, які не мають числовийоболонки. Також добре відомо, що деякі кількісні відносиницілком виразність без чисел і до чисел, наприклад, у відрізках, обсяги і т.д.
(відношення "більше", "менше", "дорівнює"). Виклад вихіднихобщематематіческіх понять в сучасних посібниках здійснюється втакий символіку, яка не припускає обов'язкового вирази об'єктівчислами. Так, у книзі Є.Г. Гонін "Теоретична арифметика" основніматематичні об'єкти з самого початку позначаються літерами і особливимизнаками ([4], стор 12 - 15). Характерно, що ті чи інші види чисел ічислові залежності наводяться лише як приклади, ілюстрації властивостеймножин, а не як їх єдино можлива і єдино існуючаформа вираження. Далі, примітно, що багато ілюстрації окремихматематичних визначень даються в графічній формі, через співвідношеннявідрізків, площ ([4], стор 14-19). Всі основні властивості множин івеличин можна вивести і обгрунтувати без залучення числових систем; більшетого, останні з?? ми отримують обгрунтування на основі общематематіческіхпонять.

У свою чергу численні спостереження психологів і педагогівпоказують, що кількісні уявлення виникають у дітей задовго допояви у них знань про числа і прийомах оперування ними. Правда, єтенденція відносити ці подання до категорії "доматематіческіхутворень "(що цілком природно для традиційних методик,ототожнюють кількісну характеристику об'єкта з числом), однак цене змінює суттєвої їх функції в загальній орієнтуванні дитини у властивостяхречей. І часом трапляється, що глибина цих нібито "доматематіческіхутворень "більш істотна для розвитку власне математичногомислення дитини, ніж знання тонкощів обчислювальної техніки та уміннязнаходити чисто числові залежності. Примітно, що акад. А.Н.
Колмогоров, характеризуючи особливості математичного творчості, спеціальнозазначає таку обставину: "В основі більшості математичнихвідкриттів лежить будь-яка проста ідея: наочне геометричнепобудова, нове елементарне нерівність і т.п. Потрібно тільки застосуватиналежним чином цю просту ідею до вирішення задачі, що з першогопогляду здається недоступною "([12], стор 17).

В даний час доцільні самі різні ідеї щодоструктури і способів побудови нової програми. До роботи по їїконструювання необхідно залучити математиків, психологів, логіків,методистів. Але в усіх своїх конкретних варіантах вона, як видається,повинна задовольняти наступним основним вимогам:
. долати існуючий розрив між змістом математики в початковій і середній школі;
. давати систему знань про основні закономірності кількісних відносин об'єктивного світу, при цьому властивості чисел, як особливої форми вираження кількості, повинні стати спеціальним, але не основним розділом програми;
. прищеплювати дітям прийоми математичного мислення, а не тільки навички обчислень: це передбачає побудову такої системи завдань, в основі якої лежить заглиблення у сферу реальних залежностей величин (зв'язок математики з фізикою, хімією, біологією та іншими науками, що вивчають конкретні величини);
. рішуче спрощувати всю техніку обчислення, зводячи до мінімуму ту роботу, яку не можна виконати без відповідних таблиць, довідників та інших підсобних (зокрема, електронних) засобів.

Сенс цих вимог є очевидним: в початковій школі цілком можливовикладати математику як науку про закономірності кількіснихвідносин, про залежності величин; техніка обчислень і елементи теоріїчисел повинні стати особливим і приватним розділом програми.

Досвід конструювання нової програми з математики та їїекспериментальна перевірка, проведена починаючи з кінця 1960-х років,дозволяють вже в даний час говорити про можливість введення в школупочинаючи з I класу систематичного курсу математики, що дає знання прокількісних відносинах і залежності величин в алгебраїчної формі.

1.2 Психологічні основи введення алгебраїчних понять в початковій школі

Останнім часом при модернізації програм особливе значення надаютьпідведенню теоретико-множинного фундаменту під шкільний курс (цятенденція чітко проявляється і у нас, і за кордоном). Реалізація цієїтенденції у викладанні (особливо в початкових класах, як цеспостерігається, наприклад, в американській школі [19]) неминуче поставить рядважких питань перед дитячою і педагогічною психологією і переддидактикою, бо зараз майже немає досліджень, які розкривають особливостізасвоєння дитиною сенсу поняття множини (на відміну від знання рахунку тачисла, яке досліджувалося досить багатосторонньо).

Логічні та психологічні дослідження останніх років (особливороботи Ж. Піаже) розкрили зв'язок деяких "механізмів" дитячого мислення зобщематематіческімі поняттями. Нижче спеціально розглядається особливостізв'язку з цим та їх значення для побудови математики як навчального предмета
(при цьому мова піде про теоретичну сторону справи, а не про який-небудьприватному варіанті програми).

Натуральне число є фундаментальним поняттям математики на всьомуПротягом її історії; дуже вагому роль воно відіграє у всіх областяхвиробництва, техніки, повсякденному житті. Це дозволяє математикам -теоретикам відводити йому особливе місце серед інших понять математики. Урізній формі висловлюються положення про те, що поняття натурального числа
- Вихідна ступінь математичної абстракції, що воно є основою дляпобудови більшості математичних дисциплін.

Вибір початкових елементів математики як навчального предмета по сутіреалізує ці загальні положення. При цьому передбачається, що, знайомлячись зчислом, дитина одночасно розкриває для себе вихідні особливостікількісних відносин. Рахунок і число - основа всього подальшого засвоєнняматематики в школі.

Однак є підстави вважати, що ці положення, справедливо виділяючиособливе і фундаментальне значення числа, разом з тим неадекватно висловлюютьйого зв'язок з іншими математичними поняттями, неточно оцінюють місце іроль числа у процесі засвоєння математики. З-за цієї обставини, вЗокрема виникають деякі суттєві недоліки прийнятих програм,методик і підручників з математики. Необхідно спеціально розглянутидійсну зв'язок поняття про число з іншими поняттями.

Багато общематематіческіе поняття, і зокрема поняття співвідношенняеквівалентності та порядку, систематично розглядаються в математицінезалежно від числової форми. Ці поняття не втрачають своєї незалежноїхарактеру на їх основі можна описувати й вивчати приватний предмет - різнічислові системи, поняття про які самі по собі не покривають глузду ізначення вихідних визначень. Причому в історії математичної науки загальніпоняття розвивалися саме в тій мірі, в якій "алгебраїчні операції",відомий приклад яких доставляють чотири дії арифметики, стализастосовуватися до елементів зовсім не "числового" характеру.

Останнім часом робляться спроби розгорнути у викладанні етапвведення дитини в математику. Ця тенденція знаходить своє вираження уметодичних посібниках, а також в деяких експериментальних підручниках.
Так, в одному американському підручнику, призначеному для навчання дітей 6 -
7 років ([19]), на перших сторінках вводяться завдання і вправи,спеціально тренують дітей у встановленні тотожності предметнихгруп. Дітям показується прийом з'єднання множин, - при цьому вводитьсявідповідна математична символіка. Робота з числами спирається наелементарні відомості про множини.

Можна по-різному оцінювати зміст конкретних спроб реалізаціїцієї тенденції, але сама вона, на наш погляд, цілком правомірною іперспективна.

На перший погляд поняття "ставлення", "структура", "закони композиції"та ін, що мають складні математичні визначення, не можуть бути пов'язані зформуванням математичних уявлень у маленьких дітей. Звичайно, весьсправжній і абстрактний зміст цих понять і їх місце в аксіоматичнепобудові математики як науки є об'єкт засвоєння вже добре розвиненою і
"натренованої" в математиці голови. Однак деякі властивості речей,фіксуються цими поняттями, так чи інакше проступають для дитини вжепорівняно рано: на це є конкретні психологічні дані.

Перш за все слід мати на увазі, що від моменту народження до 7 - 10років у дитини виникають і формуються складні системи загальнихуявлень про навколишній світ і закладається фундамент змістовно -предметного мислення. Причому на порівняно вузькому емпіричному матеріалідіти виділяють загальні схеми орієнтації в просторово-часових і причинно -наслідкових залежностях речей. Ці схеми служать своєрідним каркасом тієї
"системи координат", усередині якої дитина починає все глибше опановуватирізними властивостями різноманітного світу. Звичайно, ці загальні схеми малоусвідомлені і в малому ступені можуть бути виражені самою дитиною у форміабстрактного судження. Вони, кажучи образно, є інтуїтивно формоюорганізації поведінки дитини (хоча, звичайно, все більше і більшевідображаються і в думках).

В останні десятиліття особливо інтенсивно питання формуванняінтелекту дітей і виникнення у них загальних уявлень продійсності, часі і просторі вивчалися відомим швейцарськимпсихологом Ж. Піаже і його працівниками. Деякі його роботи мають пряместавлення до проблем розвитку математичного мислення дитини, і томунам важливо розглянути їх стосовно питань конструювання навчальноїпрограми.

В одній зі своїх останніх книг ([17]) Ж. Піаже приводитьекспериментальні дані про генезис і формування у дітей (до 12 - 14 років)таких елементарних логічних структур, як класифікація та серіація.
Класифікація передбачає виконання операції включення (наприклад, А + А '
= В) і операції, їй зворотної (В - А '= А). Серіація - це упорядкуванняпредметів у систематичні ряди (так, палички різної довжини можнарозташувати в ряд, кожен член якого більше всіх попередніх і меншевсіх наступних).

Аналізуючи становлення класифікації, Ж. Піаже показують, як від їївихідної форми, від створення "фігурної сукупності", заснованої лише напросторової близькості об'єктів, діти переходять до класифікації,заснованої вже на відношенні подібності ( "нефігурние сукупності"), а потім донайскладнішою формі - до включення класів, обумовленим зв'язком міжобсягом і змістом поняття. Автор спеціально розглядає питання проформуванні класифікації не тільки по одному, а й за двома-трьомаознаками, про формування у дітей уміння змінювати підставу класифікаціїпри додаванні нових елементів. Аналогічні стадії автори знаходять і впроцесі становлення серіаціі.

Ці дослідження переслідували цілком певну мету - виявитизакономірності формування операторних структур розуму і перш за все такогоїх конституюють властивості як оборотність, тобто здатності розумурухатися в прямому і зворотному напрямку. Оборотність має місце тоді,коли "операції і дії можуть розгортатися у двох напрямках, ірозуміння одного з цих напрямків викликає ipso facto [в силу самогофакту] розуміння іншого "([17], стор 15).

Оборотність, згідно з Ж. Піаже, являє фундаментальний законкомпозиції, властивий розуму. Вона має дві взаємодоповнюючі і несвідомихформи: звернення (інверсія або заперечення) і взаємність. Звернення маємісце, наприклад, у тому випадку, коли просторове переміщення предметаз А в В можна анулювати, переводячи назад предмет з В в А, що в підсумкуеквівалентно нульового перетворення (твір операції на зворотнує тотожна операція, або нульове перетворення).

Взаємність (або компенсація) припускає той випадок, коли, наприклад,при переміщенні предмета з А в В предмет так і залишається в В, але дитинасам переміщається з А в В і відтворює початкове положення, колипредмет знаходився проти його тіла. Рух предмета тут не анульовано,але воно компенсувалося шляхом Відповідне переміщених власноготіла - і це вже інша форма перетворення, ніж звернення ([17], стор
16).

У своїх роботах Ж. Піаже показав, що ці перетворення виникаютьспочатку у формі сенсо-моторних схем (з 10 - 12 міс.). Поступовакоординація чуттєво-рухових схем, функціональна символіка імовне відображення призводять до того, що через ряд етапів звернення івзаємність стають властивостями інтелектуальних дій (операцій) ісинтезуються в єдиній операторної структурі (в період з 7 до 11 і з 12 до
15 років). Тепер дитина може координувати всі переміщення в одне з двохсистем відліку відразу - одна мобільна, інша нерухома.

Ж. Піаже вважає, що психологічне дослідження розвиткуарифметичних і геометричних операцій у свідомості дитини (особливо тихлогічних операцій, які здійснюють в них попередні умови)дозволяє точно співвіднести операторні структури мислення зі структурамиалгебраїчними, структурами порядку і топологічними ([17], стор 13).
Так, алгебраїчна структура ( "група") відповідає операторнихмеханізмам розуму, який підпорядковується однією з форм оборотності - інверсії
(заперечення). Група має чотири елементарних властивості: твір двохелементів групи також дає елемент групи; прямий операції відповідаєодин і тільки один зворотній; існує операція тотожності;послідовні композиції асоціативних. Мовою інтелектуальнихдій це означає:
. координація двох систем дії складає нову схему, що приєднуються до попередніх;
. операція може розвиватися у двох напрямках;
. при поверненні до вихідної точки ми знаходимо її незмінною;
. до одній і тій же точці можна прийти різними шляхами, причому сама точка залишається незмінною.

Факти "самостійного" розвитку дитини (тобто розвитку, незалежноговід прямого впливу шкільного навчання) показують невідповідність порядкуетапів геометрії та етапів формування геометричних понять у дитини.
Останні наближаються до порядку наступності основних груп, детопологія є першою. У дитини, за даними Ж. Піаже, спочаткускладається інтуїція топологічна, а потім він орієнтується внапрямку проективних і метричних структур. Тому, зокрема, якзазначає Ж. Піаже, при перших спробах малювання дитина не розрізняєквадратів, кіл, трикутників і інших метричних фігур, алечудово розрізняє фігури відкриті та закриті, положення "поза" чи
"всередині" по відношенню до кордону, поділ і сусідство (без різниці допори до часу відстані) і т.д. ([17], стор 23).

Розглянемо основні положення, сформульовані Ж. Піаже,стосовно питань побудови навчальної програми. Перш за все,дослідження Ж. Піаже показують, що в період дошкільного та шкільногодитинства у дитини формуються такі операторні структури мислення, якідозволяють йому оцінювати фундаментальні характеристики класів об'єктів іїх відносин. Причому вже на стадії конкретних операцій (з 7 - 8 років)інтелект дитини придбаває властивість оборотності, що виключно важливодля розуміння теоретичного змісту навчальних предметів, зокремаматематики.

Ці дані говорять про те, що традиційна психологія і педагогіка НЕвраховували в достатній мірі складного і ємного характеру тих стадійрозумового розвитку дитини, які пов'язані з періодом від 2 до 7 і від 7до 11 років.

Розгляд результатів, отриманих Ж. Піаже, дозволяє зробити рядістотних висновків стосовно конструювання учбової програми зматематики. Перш за все фактичні дані про формування інтелектудитини з 2 до 11 років говорять про те, що йому в цей час не тільки не
"чужі" властивості об'єктів, що описуються за допомогою математичних понять
"ставлення - структура" але останні самі органічно входять в мисленнядитини.

Традиційні програми не враховують цієї обставини. Тому вонине реалізують багатьох можливостей, таяться в процесі інтелектуальногорозвитку дитини.

Матеріали, які є в сучасної дитячої психології, дозволяютьпозитивно оцінювати загальну ідею побудови такого навчального предмету, воснові якого лежали б поняття про вихідні математичних структурах.
Звичайно, на цьому шляху виникають великі труднощі, тому що ще немає досвідупобудови такого навчального предмета. Зокрема, одна з них пов'язана звизначенням вікового "порога", з якого можна реалізувати навчання за новоюпрограмі. Якщо дотримуватися логіки Ж. Піаже, то, мабуть, за цими програмамиможна вчити лише тоді, коли у дітей уже повністю сформувалисяоператорні структури (з 14 - 15 років). Але якщо припустити, що реальнематематичне мислення дитини формується саме всередині того процесу,що позначається Ж. Піаже як процес складання операторних структур,то ці програми можна вводити набагато раніше (наприклад, з 7 - 8 років),коли в дітей починають формуватися конкретні операції з вищим рівнемоборотності. В "природних" умовах, при навчанні за традиційнимипрограмами формальні операції, можливо, тільки і складаються до 13 - 15років. Але чи не можна "прискорити" їх формування шляхом більш раннього введеннятакого навчального матеріалу, засвоєння кіт?? якого вимагає прямого аналізуматематичних структур?

Видається, що такі можливості є. До 7 - 8 років у дітей вжев достатній мірі розвинений план розумових дій, і шляхом навчання завідповідною програмою, в якій властивості математичних структур дані
"явно" і дітям даються кошти їх аналізу, можна швидше підвести дітей дорівнем "формальних" операцій, ніж в ті терміни, в які це здійснюєтьсяпри "самостійному" відкритті цих властивостей.

При цьому важливо враховувати таку обставину. Є підставивважати, що особливості мислення на рівні конкретних операцій,приуроченому Ж. Піаже до 7 - 11 років, самі нерозривно пов'язані з формамиорганізації навчання, властивими традиційної початковій школі. Ценавчання (і в нас, і за кордоном) ведеться на основі гранично емпіричногозмісту, часто взагалі не пов'язаного з понятійним (теоретичним)ставленням до об'єкта. Таке навчання підтримує і закріплює у дітеймислення, що спирається на зовнішні, прямим сприйняттям помітні ознакиречей.

Таким чином, в даний час є фактичні дані,що показують тісний зв'язок структур дитячого мислення і общеалгебраіческіхструктур, хоча "механізм" зв'язку з цим далеко не ясний і майже не досліджений.
Наявність цієї зв'язку відкриває принципові можливості (поки що лишеможливості!) для побудови навчального предмету, що розгортається за схемою
"від простих структур - до їх складним сполученням". Однією з умовреалізації цих можливостей є вивчення переходу доопосередкованого мислення і його вікових нормативів. Вказаний спосібпобудови математики як навчального предмета сам може бути потужним важелемформування у дітей такого мислення, яке спирається на доситьпонятійний міцний фундамент.

1.3 Проблема походження алгебраїчних понять і її значення для побудови навчального предмета

Поділ шкільного курсу математики на алгебру і арифметику, звичайнож, умовно. Перехід від одного до іншого відбувається поступово. У шкільнійпрактиці сенс цього переходу маскується тим, що вивчення дробівфактично відбувається без розгорнутої опори на вимірювання величин - дробудаються як відносини пар чисел (хоча формально важливість вимірювання величин вметодичних посібниках визнається). Розгорнуте введення дрібних чиселна основі вимірювання величин неминуче приводить до поняття дійсногочисла. Але останнього якраз зазвичай і не відбувається, тому що учнів довготримають на роботі з раціональними числами, а тим самим затримують їхперехід до "алгебри".

Іншими словами, шкільна алгебра починається саме тоді, колистворюються умови для переходу від цілих до дійсних чисел, довисловом результату вимірювання дробом (простий і десяткового - кінцевої, апотім нескінченної).

Причому вихідним може бути знайомство з операцією вимірювання, отриманнякінцевих десяткових дробів і вивчення дій над ними. Якщо учні вжеволодіють такою формою запису результату вимірювання, то це служитьпередумови