Ньютонова революція в науці

Так математики і фізики називають останню третину 17 століття і перша чверть 18 століття - то час, коли був створений сучасний математичний аналіз (обчислення похідних і інтегралів від будь-яких гладких функцій). Цю величезну роботу проробила велика група вчених з різних країн Європи. Але англієць Ісаак Ньютон займає серед них особливе місце. Він був на рідкість талановитий, йому багато в чому пощастило, і він з блискуче використав це везіння.

Будучи студентом, Ньютон прочитав видану в 1656 році книгу Джона Валліса "Арифметика нескінченно малих". Її автор вільно працював з інтегралами, нескінченними рядами і нескінченними творами, не дуже піклуючись про коректність своїх міркувань. Ось типовий результат Валліса:

2 * 4 * 4 * 6 * 6 * 8 * 8 *.....

П/4 = ----------------------

3 * 3 * 5 * 5 * 7 * 7 * 9 *.....

Валліс першим почав розглядати інтеграл НЕ геометрично, а арифметично - як межа послідовності чисел. І в геометрії Валліс волів алгебраїчні докази теорем (у стилі Декарта) наочно-геометричним міркувань Евкліда. У 1660-і роки Валліс, будучи духівником короля Карла 2, зіграв важливу роль в установі Лондонського Королівського Товариства - англійської академії наук. Пізніше він став гарячим пропагандистом математичних відкриттів Ньютона.

Інший учитель Ньютона - Ісаак Барроу - першим помітив, що обчислення площі під графіком функції і проведення дотичної до графіка функції - взаємно зворотні операції. Але Барроу уникав алгебраїчних доказів, а працював у стилі Евкліда; тому його книги були мало зрозумілі молодим читачам. Коли Барроу почув від Ньютона нове виклад основ математичного аналізу ( "метод флюент і флюксій "), він був у захваті і незабаром поступився своєму учневі кафедру математики в Кембріджському університеті, а сам зайнявся богослов'ям.

Третій попередник Ньютона - Роберт Гук - був чудовий фізик-експериментатор. Він також намагався вивести відкриті Кеплером закони руху планет з тяжіння Землі до Сонця. Гук вгадав, що для справедливості законів Кеплера необхідно, щоб притягання між тілами було обернено пропорційно до квадрату відстані між ними. Але строго довести цей факт Гук не зумів чи не встиг; Ньютон випередив його, і з тих пір вони стали суперниками на все життя.

Спираючись на досягнення цих першопрохідців, Ньютон здійснив у 1665-67 роках великий прорив в нову математику. Ці два роки він провів на самоті, ховаючись в селі від епідемії чуми і невпинно розмірковуючи про те, як описати закони природи з допомогою обчислення сил, що діють між природними тілами і викликають руху цих тіл. Розуміння суті справи прийшло до Ньютона на дуже високому рівні абстракції. Що, власне, відбувається в природі "

Є якісь Ньютон назвав їх з латини - "флюенти", а ми називаємо їх функціями. Можна обчислити швидкість зміни такої флюенти - "флюксій" (або похідну); вона теж змінюється з часом. Будь-який природний закон виражається якоїсь алгебраїчної або геометричної зв'язком між різними флюентамі та їх флюксій. Такий зв'язок математики називають в наші дні диференціальних рівнянням.

Щоб ці загальні міркування перетворилися в строгу науку, треба придумати зручний "портрет" флюенти або флюксій, доступний як для геометричного уяви, так і для алгебраїчних розрахунків. Першу частину такого портрета відкрив Декарт: це графік функції. Другу (алгебраїчну) частина портрета функції запропонував Ньютон. Він став зображувати будь-яку функцію статечним поруч, то є нескінченно довгим аналогом многочлена. Наприклад:

sin (x) = x -- x../6 + x../120 - x.../5040 + ...

Таким чином Ньютон навів лад у новому складному світі гладких функцій та диференціальних рівнянь, що зв'язують ці функції між собою, згідно із законами природи. У цій картині світу багато складні проблеми минулого стали простими обчислювальними вправами. Така, наприклад, теорема Ньютона-Лейбніца про те, що операції інтегрування і диференціювання функцій взаємно назад. Аналогічно, з вгаданих Гуком формули закону тяжіння між масивними тілами Ньютон алгебраїчних вивів всі можливі види орбіт, по яких рухаються небесні тіла. Це виявилися криві другого порядку: еліпс, парабола і гіпербола. Режим руху тіл по цим кривим задовольняє законам Кеплера.

Так нова математика Ньютона звела експериментально виявлені закони руху планет і комет до більш глибоких законами, які регулюють силове взаємодія будь-яких природних тел. Чи можна звести закони природних сил до ще більш глибоким природним закономірностям "

Ньютон був впевнений, що це можливо. Але він здогадувався, що новий крок у пізнанні природи зажадає створення зовсім нових розділів математики - і не міг вгадати, якими вони повинні бути.

Тим часом сучасники Ньютона поступово відкривали нові закони механіки: закони збереження різних числових характеристик природних тіл в спостережуваних нами процесах. Так, Валліс відкрив закон збереження імпульсу, а Лейбніц - закон збереження кінетичної енергії. Гюйгенс вивів диференціальне рівняння коливань маятника: у них кінетична енергія переходить в потенційну, і назад.

Але на рубежі 17-18 століть ніхто не здогадався, що саме закони збереження складають наступний за глибиною шар природних закономірностей. Їхнє розуміння зажадало нової революції в математиці: вивчення природних симетрій за допомогою теорії груп. Її створення і застосування зайняло весь 19 вік і велику частину 20 століття. Вгадати такий розвиток математики Ньютон не міг - хоча в його книгах містяться проекти вивчення симетрій природних тіл, їх зв'язків з силами взаємодії між тілами. Самим цікавим явищем цього роду Ньютон вважав відштовхування електричних зарядів, а також дивно правильну форму кристалів.

Наукову біографію Ньютона можна розділити на три нерівні частини. У 1665-67 роках він натхненно працював, вгадуючи основні закони природи і математики. Наступні 20 років Ньютон присвятив строгого доказу відкритих ним законів, розрахунку найважливіших прикладів (включаючи рух Місяця і планет) і написання своєї головної книги: "Математичні принципи філософії природи". В останні 40 років життя Ньютон мало займався наукою: він лише публікував раніше підготовлені їм книги, часом відволікаючись на вирішення особливо важким і красивою завдання з допомогою математичного аналізу.

Наприклад, Ньютон розв'язав задачу про Брахістохрона - шляхи наібистрейшего спуску важкої точки, ковзає по гладкої кривої. Виявилося, що такий кривий є циклоїда. Доказ цього факту зажадало роботи з гладкими функціями, залежними від нескінченної кількості числових змінних. Ньютон впорався з цим завданням за допомогою низки сміливих гіпотез, що пізніше склали особливий розділ математичного аналізу - варіаційне числення.

Так Ньютон працював усе життя, створюючи все нові розділи математики чи фізики для вирішення нових складних проблем. Ми називаємо Ньютона генієм за бездоганний смак і успіх у цій роботі. Кожна побудована ним теорія (чи то механіка, оптика або варіаційне числення) вирішувала не тільки вихідну задачу, а й безліч інших завдань, про які раніше ніхто не замислювався. Але наслідувати Ньютону в цій героїчну роботу могли дуже небагато сучасники - тим більше, що за характером він був одинак і не прагнув виховувати учнів особистим прикладом.

Тому в поширенні методів матматіческого аналізу серед математиків Європи головну роль зіграв не Ньютон, а його однодумці: голландець Християн Гюйгенс (він став першим президентом Паризької Академії Наук) і німець Готфрід Лейбніц (він очолив Академію наук у Берліні і склав проект Російської академії наук). Обидва вони поступалися Ньютону в "пробивний сили" при вирішенні найскладніших завдань, та вони не поступалися Ньютону в науковій фантазії і переважали його в майстерності вчителя і просвітителя.

Наприклад, Лейбніц навчився основам математики і механіки у Гюйгенса. Як тільки до нього дійшли чутки про чудові відкриття Ньютона (який ще нічого не опублікував у пресі), Лейбніц зумів повторити ці відкриття самостійно і раніше Ньютона опублікував свої міркування у формі, зручній для більшості математиків. Саме Лейбніц ввів сучасні позначення похідної, диференціала та інтеграла. Він склав першу таблицю похідних та інтегралів від елементарних функцій. Тому самі сильні математики наступного покоління - Брати Бернуллі і Лопіталя - вивчали свою науку за статтями Лейбніца, а не за книг Ньютона. У результаті європейська математика 18 століття виявилася виключно "континентальної"; гідних спадкоємців думки Ньютона в Англії не знайшлося.

Подібно Гюйгенсу і на відміну від Ньютона, Лейбніц був дуже різнобічним ученим. Крім "безперервної" математики функцій і похідних, він дуже цікавився "дискретної" математикою. Почавши з винаходу вдалого арифмометра, Лейбніц незабаром помітив особливу зручність двійкової системи числення для математичних машин. Він також розвинув математичну логіку, перейшовши від словесних міркувань (силогізмів) Аристотеля до алгебраїчних переліченням логічних висловлювань. Про це ще в 14 столітті мріяв Раймонд Раймунд; розвиваючи його ідеї, Лейбніц задумався про повну формалізації людського мислення, про створення "мислячих машин". У цій надії Лейбніц помилився - але щоб виявити його помилку, математикам 20 століття довелося побудувати електронні комп'ютери і порівняти їх роботу з діяльністю людського мозку.

Християн Гюйгенс (1629-1695) був на півтора десятка років старше Ньютона і Лейбніца. Тому він не зміг змагатися з молодими колегами, коли вони почали винаходити математичний аналіз. Однак у Гюйгенса було чудове чуття в галузі математичної фізики: їм захоплювався навіть Ньютон, який нікого іншого не вважав рівним собі талантом. Тому в математичній оптиці Гюйгенс зумів перевершити і Ферма, і Ньютона.

Він запропонував хвильову теорію світла, яка вдаліше описувала природні явища (дифракцію і інтерференцію), ніж корпускулярна теорія Ньютона. У рамках своєї теорії Гюйгенс висунув чудовий принцип: кожна точка, збуджена проходить хвилею, сама стає джерелом таких самих хвиль. Цей принцип Гюйгенса і старий принцип Ферма (про рух світла по траєкторії найменшого часом) у 20 столітті склали основу квантової фізики, злившись в єдиний принцип Фейнмана.

Але для побудови повної математичної теорії світла Гюйгенсу не вистачало багатьох експериментальних результатів і ще однієї гілки математичного аналізу: теорії функцій комплексного змінного. Її створив Леонард Ейлер - найвідоміший математик 18 століття.

Список літератури

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.sch57.msk.ru/