Застосування узагальненого методу Фур'є в задачі полого хвилеводу трикутного перетину

к. ф.-м. н. Андрушкевич І.Є., Жізневскій В.А.

Вітебський державний університет ім. П. М. Машерова.

Рішення прикладних задач поширення електромагнітних хвиль найчастіше пов'язане з проблемою пошуку аналітичних рішень крайових задач математичної фізики. З цієї точки зору, застосування методу розділення змінних один з можливих шляхів цього пошуку. Добре вивчений класичний метод Фур'є дозволяє розділити змінні в диференціальних рівнянь в приватних похідних стосовно до граничних умов найпростішого вигляду. Трикутна кордон направляючої структури, розглянутої в статті, не відповідає можливостям поділу змінних в класичному поданні. У статті розглянуто застосування узагальненого методу Фур'є розділення змінних, як одного із способів розширення кола аналітично розв'язуваних задач прикладної електродинаміки. На прикладі визначення сімейства Е-хвиль хвилеводу трикутного перетину показано перевагу перед класичним методом розділення змінних при вирішенні крайової задачі для двовимірного рівняння Гельмгольца.

Наочним прикладом реалізації переваг узагальненого методу Фур'є (ОМФ) [1] перед класичним при вирішенні прикладних задач електродинаміки є завдання полого хвилеводу трикутного перетину (рис.1), оболонка якого приймається за ідеально провідну, а внутрішня середовище є однорідною. Така модель у більшості випадків виявляється задовільною для практичних розрахунків. При необхідності вона уточнюється шляхом урахування втрат у металі.

рис.1

Пошук векторів електромагнітного поля зазвичай замикається на розгляд рівняння Гельмгольца, яким повинні задовольняти компоненти цих векторів:

(1)

Просторова задача про поширення хвиль в подібній поздовжньо-однорідної структурі зводиться до вирішення двовимірного рівняння Гельмгольца шляхом класичного відділення змінної z, тобто представлення шуканої функції у вигляді:

(2)

Рівняння для при цьому приймає вигляд:

(3)

Тут невідома не тільки функції, але і l параметр, що має сенс поперечного хвильового числа. Саме по собі рівняння (3) не має певних рішень з фізичної точки зору. Необхідно поставити крайову (граничну) завдання. Відомо, наприклад з [2], що для визначення сімейства Е-хвиль тієї чи іншої направляючої структури з однорідної середовищем і при ідеалізації проводять кордонів треба знайти рішення крайової задачі, що містить, крім рівняння (3), умова:

на L, (4)

де під L розуміється ідеально проводить контур поперечного перерізу полого хвилеводу або сукупність контурів в більш складних випадках. У нашому прикладі, як видно з малюнка, як L виступає прямокутний трикутник. Застосовуючи для вирішення цієї крайової задачі класичний метод Фур'є, тобто представляючи шукану функцію у вигляді:

(5)

можемо отримати наступне спільне рішення для даного рівняння:

(6)

Невизначені константи, що містяться в даному рішенні, повинні бути визначені із граничних умов, але що отримується при цьому система рівнянь не має нетривіальних рішень. Отже, рішення (6) не задовольняє поставленої крайової завданню. Можна піти шляхом розчленування замкнутого контуру на відрізки, що безумовно викличе збільшення кількості крайових задач, які потребують вирішення. Цього можна уникнути, використовуючи ОМФ.

Представляючи шукану функцію у вигляді:

(7)

рівняння (3) наводиться білінійної увазі:

(8)

На наступному етапі застосування ОМФ необхідно побудувати матрицю функцій білінійної рівняння, що в нашому випадку виглядає наступним чином:

(9)

Слідуючи теорії реалізації ОМФ [1], використовуючи цю матрицю, можна побудувати наступні системи розділених рівнянь:

(10)

(11)

(12)

Наведені системи відрізняються функціями, що входять до їх базис, і їх кількістю. Аналіз цих систем вказує, що тільки система (11) може мати рішення, задовольняють вимогу лінійної незалежності шуканих функцій по кожній змінної. Рішення системи (11) за умови має такий вигляд:

(13)

Це рішення містить вісім невизначених коефіцієнтів і постійні розділення, які повинні бути визначені із граничних умов.

Умова по осі х, що має вигляд f (x, 0) = 0, призводить до рівняння:

(14),

з якого слід:

Умова по осі y, що має вигляд f (0, y) = 0, призводить до рівняння:

(15),

з якого думаємо:

Умова по гіпотенузі розглянутого трикутника, що має вигляд f (y-а, y) = 0, призводить до рівняння:

яке може бути перетворено до вигляду:

(16)

Вирішуючи дане тригонометричні рівняння можна звернути його в тотожність при наступних обмеження на невизначені постійні:

(17),

де k, n, m v цілі ненульові числа.

При цих обмеження шукана функція приймає наступний вигляд:

(18),

де С v невизначена амплітудна константа, що з'явилася внаслідок наступних позначень:

Повертаючись до спочатку поставленої задачі про визначення сімейства Е-хвиль розглянутої направляючої структури, згідно з [2], як f (x, y) виступають власні функції, що мають сенс поздовжньої компоненти напруженості електричного поля для хвилі, визначається вибором чисел m і n. Цим власним функціям відповідають власні значення з вираження (17). Повний електромагнітне поле для цього хвилеводу може бути визначено з залежностей поперечних компонент від і, що випливають з рівнянь Максвелла:

,

де - поздовжнє хвильове число, а - кругова частота хвильового процесу.

Список літератури

1. И.Е. Андрушкевич. Про один узагальненні методу Фур'є розділення змінних. ЕВ & ЕС .1998. | 2

2 В.В. Нікольський, Нікольська Т.І. Електродинаміка та поширення радіохвиль. М.: Наука.1989