Емпіричні методи пізнання

До емпіричним методів пізнання відносяться спостереження, опис, вимірювання і експеримент. Найчастіше ці методи застосовуються в природничих дисциплін (хімії, біології, астрономії, фізики, географії і т. д.). Для математики ці методи не є характерними. Історія розвитку математики свідчить про те, що емпіричні методи відіграли неоціненну роль у зародженні математичних знань, становленні математики як самостійної теоретичної дисципліни. Шкільне навчання математики певною мірою повторює її історичний путь розвитку. Використання засобів наочності і технічних засобів навчання, як правило, передбачає застосування різних емпіричних методів. Часто має місце одночасне використання методів стеження, опису, вимірювання та експерименту. Це допомагає уникнути пасивної споглядальності, активізувати дії учнів, залучити їх до цілеспрямовану роботу з використання демонстраційних наочних посібників, приладів, моделей і т. п.

Математика не є експериментальною наукою, і, отже, дослідне підтвердження не може служити достатньою підставою істинності її пропозицій. Це безсумнівно вірно, якщо під математикою розуміти сукупність готових, вже побудованих дедуктивних теорій, але це невірно, якщо під математикою розуміти розумову діяльність, результатом якої є подібні теорії. В останньому випадку дедуктивна теорія лише одна фаза математики. Але вона має ще дві фази -- передуючу дедуктивної теорії фазу накопичення фактів (дослідну, інтуїтивне) і наступну за нею фазу додатків. Ці дві фази незалежно від того, чи вважають їх власне математичними або "околоматематіческімі", не менше важливі у навчанні, ніж сама дедуктивна теорія: перше - для розуміння цій теорії, другий - для її виправдання.

Виходячи з завдань, що стоять перед школою, мова йде про навчання не тільки готовим знаніямно і методів пізнання приводить до цих знань. Тому природно застосовувати в навчанні і ті емпіричні методи пізнання, за допомогою яких формулюються гіпотези, що підлягають обгрунтування (або спростування) вже іншими методами.

Стежить, досвід та виміру повинні бути спрямовані на створення в процесі навчання спеціальних ситуацій та надання учням можливості витягти з них очевидні закономірності, геометричні факти, ідеї докази і т. д. Найчастіше результати спостереження, досвіду і вимірювань служать посилками індуктивних висновків, за допомогою яких здійснюються відкриття нових істин. Тому спостереження, досвід і вимірювання відносять і до евристичним методам навчання, тобто до методів, що сприяє відкриттів.

Проілюструємо таке застосування спостереження, досвіду і вимірювань кількома прикладами.

Якщо показати студентам IV-V класів різні фігури, у тому числі оточуючі нас предмети, серед яких одні мають, а інші не мають осьової симетрією, то спостереження цих фігур дозволяє помітити, що кожна з "симетричних" фігур ділиться деякої прямої на дві частини так, що, якщо зігнути фігуру по цій прямій, одна її частина повністю належиться на іншу. Для кожної ж з "несиметричних" фігур такої прямої не можна знайти.

Після такого спостереження "симетричних" фігур навколо нас (архітектурних прикрас, будівельних та інших деталей, деяких листя на деревах і т.д.) можна перейти до подальшого вивчення осьової симетрії за допомогою спеціального досвіду (експерименту).

Кожному учню пропонується зігнути аркуш паперу так, щоб одна частина листа впала на іншу і утворилася лінія згину. Потім пропонується випрямити знову лист і відзначити на ньому довільну точку А, не лежить на лінії згину, потім знову зігнути лист по тій же лінії згину і визначити, дивлячись на світ через зігнутий лист, з якою точкою збіглася при цьому точка А. Нехай це точка А1 Учням повідомляють, що точки А та А1 називаються симетричними відносно прямої l (лінії згину), званої віссю симетрії цих точок. Для іншої точки В, що лежить по інший бік від лінії згину, ніж точка А, пропонується визначити (дослідним шляхом, з допомогою згинання листа) симетричну їй точку щодо тієї ж осі l. Помічаємо, що, якщо взяти точку С на лінії згину, вона залишається нерухомої при згинанні аркуша, тобто не збігається з какойлібо іншою точкою листа. Ми говоримо, що будь-яка точка осі симетрії (лінії згину) симетрична самій собі.

Природно виникає питання: чим. ж характеризується розташування відносно осі пари симетричних точок (А, А1, В, В1, як це можна описати за допомогою вже відомих геометричних термінів? Учні помічають (можливо, за допомогою вчителя), що симетричні точки (якщо вони різні) завжди лежать по різні сторони від осі симетрії. Пропонується поєднати симетричні точки відрізком прямої. Учні висловлюють гіпотезу, що симетричні точки відстоять на рівних відстанях від осі симетрії, тобто що відрізки Аа1 і ВВ1 діляться віссю симетрії навпіл. Це припущення підкріплюється за допомогою вимірювання відповідних відрізків. Якщо учні не помічають перпендикулярності відрізка Аа1 і ВВ1 до осі симетрії (звичайно рівність кутів не так швидко виявляється, як рівність відрізків), то беруть дві точки, равностоящіе від осі по різні боки від неї, але не на одному перпендикуляр до неї, і задають питання: чи будуть ці точки симетричні щодо тієї ж осі? Зіставляючи розташування цих точок з розташуванням симетричних точок, учні виявляють, що останні лежать на одному перпендикуляр до осі симетрії. Це поки що припущення, яке також підкріплюється виміром відповідних кутів.

Якщо з'єднати відрізками точки А і В і симетричні їм точки А1 та В1, то при згинанні аркуша паперу по лінії l відрізок АВ накладеться на відрізок А1В1 тобто виявляється, що відстань між двома точками А і В дорівнює відстані між симетричними їм точками А1 та В1.

Досвідченим ж виявляється шляхом також, що кожна з півплощини з кордоном l "накладається" (перетвориться, відображається) на іншу.

Таким чином, за допомогою спостереження, досвіду і вимірювань формується уявлення про осьової симетрії як про перетворення площини, при якому кожній точці зіставляється симетрична їй щодо осі l точка і ми одержуємо можливість описати осьову симетрію на вже відомому учням геометричному мовою за допомогою наступної сукупності пропозицій.

(П1) Кожна точка осі симетрії симетрична сама собі. Будь-які дві різні симетричні точки лежать:

(П2) по різні боки від осі симетрії,

(П3) на одному перпендикуляр до осі і

(П4) на однаковій відстані від осі.

(П5) Відстань між будь-якими двома точками дорівнює відстані між симетричними їм точками.

(П6) Кожна з півплощини з кордоном перетвориться в іншу. Отримана опис нашого досвіду не є, однак, досконалим. По-перше, всі пропозиції П1 - П6 "обгрунтовані" лише досвідченим шляхом. По-друге, ще не розкрито логічні зв'язки між ними, не з'ясовано, які з цих пропозицій можуть служити посилками для виведення з них інших пропозицій цієї сукупності (з допомогою, можливо, і деяких інших, вже відомих геометричних істин).

Однак усунення цих дефектів нашого опису вимагає вже застосування інших методів, про які йтиметься далі.

Наведемо приклад, коли досвід сприяє відкриттю геометричного властивості та підказує шлях його докази.

Експериментально виявити, що сума кутів цього трикутника дорівнює 180 °, можна відразу ж, як тільки учні навчаться вимірювати кути за допомогою транспортира.

Учням пропонується виміряти транспортир кути накресленого в зошиті трикутника і скласти результати вимірювання. У деяких сума кутів трикутника виходить менше 180 °, в інших - більше, але у всіх результати близькі до 180 °, а у деяких навіть "точно" 180 ° (!). Учні здогадуються, що повинно вийти 180 °, а інші результати пояснюються похибками вимірювання. Вони "здійснюють відкриття": "У всякому трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює 180 ° ".

Це припущення підкріплюється другого досвідом, підказує ідею доказу (одного з можливих доказів). У кожного школяра заготовлений вирізаний з паперу трикутник. Учитель пропонує "відірвати" два кути і прикласти їх до третього так, як він це робить сам на великому трикутнику. Учні помічають, що отримані три кути із загальною вершиною А, розташовані по один бік від прямої. Отже, сума цих кутів дорівнює 180 °. За допомогою цього досвіду (вже без вимірів) ми прийшли до тієї ж гіпотези, і всім здається, що виявлена властивість достовірно. Але чи можна бути впевненим у тому, що дві променя, що сходяться в точці А, утворюють пряму лінію? Адже вони можуть утворити ламану, так мало відрізняється від прямої, що ми цього не помітимо. Але в цьому випадку сума кутів вже не дорівнює 180 °.

Таким чином, проведений досвід не замінює доказ. Він лише підказує один з можливих шляхів докази відкритого дослідним шляхом властивості.

За допомогою простого досвіду формується і наочне уявлення про переміщення як про відображенні площині на себе, який зберігає відстань між пунктами. На лист паперу кладуть тонку прозору "o платівку з багатьма отворами. С допомогою олівця наголошується на аркуші положення одного отвору (одного місця). Нехай це точка А площині. Потім переміщують довільно платівку на аркуші та через цей же отвір відзначається нова точка А При цьому наголошується, що так можна зробити з будь-якою точкою площині. Потім відзначають вістрям олівця через два отвори пластинки точки В і С площині і після деякого переміщення платівки через ті ж отвори відзначають нові крапки-В1 і С1 відповідно. Тому що при переміщенні платівка не розтягується і не стискається, то відстані між точками зберігаються, тобто

| ВС | == | В1 С1 |

Таким чином, будь-яка точка Х нерухомого листа відображається точно в одну точку Х1 цього ж листа. Так виходить відображення площини на себе, при якому відстань між будь-якими двома точками дорівнює відстані між їх образами.

За допомогою описаного досвіду виявляються і найважливіші властивості руху:

а) якщо три точки А, М, В лежать на одній прямій, то і їх образи А1, М1, В1 також лежать на одній прямій;

б) якщо точка М лежить між точками А і В, то і М лежить між А1 і В1

Відкриті дослідним шляхом, ці властивості, зрозуміло, підлягають доведенню. Тут знову досвід проявляється як евристичний метод.

Розглянемо приклад застосування досвіду для відкриття алгебраїчної закономірності.

Припустимо, що в одному, синьому, мішечку є т синіх паличок, а в іншому, червоному, мішечку - п червоних паличок. Потрібно звільнити один мішечок. Ми можемо це зробити двома способами. Можна пересипати всі червоні палички з червоного мішечка в синій, і тоді в ньому виявиться т + п паличок. Але можна пересипати всі сині палички в червоний мішечок, і тоді в ньому виявиться п + т паличок. Та і в одному, і в іншому випадку ми маємо в мішечку один і той же безліч паличок. Отже,

т + п =-- п + т.

Зрозуміло, у конкретному досвіді т і п позначають певні числа. Тому отримане рівність є лише однією з посилок, за допомогою яких вже іншим методом (індукцією) отримують загальний закон комутативність складання натуральних чисел:

"т + п = п + т; для будь-яких натуральних чисел т і п ".

Підрахунок двома способами (по рядах і по стовпцях) одиничні квадратиків, що заповнюють прямокутник, вимірювання якої виражаються натуральними числами, є досвідом, за допомогою якого виявляється комутативність множення натуральних чисел.

Важливо відзначити, що за допомогою методів емпіричних (спостереження, досвіду, вимірювань) виконується лише початковий етап роботи з математичного опису реальних ситуацій. Одержуваний математичний матеріал (інтуїтивні поняття, гіпотези, сукупності математичних речень) підлягає подальшій обробці вже іншими методами.

Список літератури

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://pedagogika.by.ru/