Оптимальна частотно-часова фільтрація

канд. біологічних наук М. П. Іванов, д-р техн. наук В. В. Кашин

Санкт-Петербурзький державний університет

Методами узагальненого варіаційного обчислення синтезований частотно-часової фільтр, що складається з перемножітеля на відоме опорне напруга і включеного за ним стаціонарного фільтра. Показано, що кореляційний прийом і узгоджена фільтрація є приватними граничними випадками частотно-тимчасового фільтра. За допомогою поняття функції спектральної кореляції аналізується фізичний принцип роботи частотно-тимчасового фільтра. Показано можливість застосування частотно-тимчасового фільтра в спектральному дискримінатор продукції тощо.

Структура деяких приймальних пристроїв, наприклад, приймачів американської супутникової навігаційної системи GPS, включає в себе корелятор [1]. У корелятор, що є оптимальним приймачем при наявності білого шуму (але не вузькополосної перешкоди у вигляді розстроєної несучої [1]), здійснюється множення вхідного процесу (сигналу і шуму) на копію сигналу з подальшою інтеграцією. Оскільки існує ще можливість реалізації оптимального приймача у вигляді узгодженого фільтру, виникає питання, чи є ці структури оптимального приймача єдиними?

Розглянемо завдання частотно-часової фільтрації, яка полягає в збільшенні вхідного процесу на деякий відоме опорне напруга (як і в перемножітеле корелятор), не зменшує енергію сигналу, і наступної лінійної фільтрації (аналогічно інтегрування в корелятор) стаціонарним фільтром. Відгуки частотно-тимчасового фільтра на вхідний сигнал і шум можна представити у вигляді

(1)

і (2)

де - опорне напруга; - імпульсна перехідна функція стаціонарного фільтра. Таким чином, ядра операторів (1,2) представлені у вигляді добутку k (t, t) = r (t) h (tt), де r - задана відома функція, а h (tt) підлягає оптимізації.

При оптимізації будемо використовувати метод, розроблений в нотатках [2-4]. В якості критерію оптимальності виберемо відношення сигнал-шум і подамо значення корисного сигналу на виході в момент максимуму t0 за допомогою фільтруючого властивості d - функції у вигляді лінійного функціоналу

(3)

Момент t0 заздалегідь невідомий і належить інтервалу спостереження T, а шум на виході частотно-тимчасового фільтра є нестаціонарним. Тому як критерію оптимальності приймемо функціонал I відносини пікової потужності сигналу до середньої по часу і по ансамблю потужності шуму Pш на виході фільтра

(4)

Тут і в Надалі кутові дужки позначають усереднення по ансамблю.

Оскільки співмножники h (tt) в ядрі операторів (1) і (2) - різницевий, можна використовувати властивість згортки і записати

(5)

і (6)

Таким чином, критерій оптимальності має вигляд

(7)

де Sвих (t0) і Pш виражаються формулами (5) і (6). Тут вже можна застосувати методи узагальненого варіаційного обчислення [2-4]. Узагальнене рівняння Ейлера-Пуассона для функціоналу (7) має вигляд

(8)

де M - коефіцієнт пропорційності, не що впливає на вигляд коефіцієнта передачі фільтру.

Переходячи до спектрами і позначаючи відповідність функцій та їх перетворень Фур'є;;;, отримуємо вираз для коефіцієнта передачі стаціонарної інерційної частини оптимального частотно-тимчасового фільтра

(9)

де * позначає комплексне спряження.

При будь-якому виборі опорної напруги r (t), якому відповідає спектр P (W), не зменшує енергію сигналу, і будь-який перешкоди, в тому числі і вузькополосної, що виводить GPS з ладу [1], існує коефіцієнт передачі K (w) оптимального стаціонарного фільтра h (t). Потужність безлічі пар r (t) та K (w) може бути більше потужності континууму [3]. Навіть для розглянутого найпростішого випадку всі обмеження для r (t) і K (w) не визначені. З існування рішень для окремого випадку завдання [3] слід існування безлічі ядер k (x, t), що доставляють функціоналу (7) екстремум, причому значення цього екстремуму для кожного k (x, t) з цього множини - однакові. Рішенням оптимізаційної завдання буде конструктивне опис цієї множини оптимальних ядер. Якщо r (t) = const, тобто перемножітель відсутній, P (w-W) = d (w-W) і виходить узгоджений фільтр; якщо r (t) = S (t), виходить корелятор.

Таким чином, і кореляційний прийом, і узгоджена фільтрація є приватними граничними випадками частотно-часової фільтрації. Опорне напруга r (t) і перехідну функцію фільтра h (tt ) Слід вибирати, виходячи з зручності реалізації. А для здійснення оптимального прийому при білому шумі застосування корелятор або узгодженого фільтра обов'язковим не є.

Рішення сформульованої задачі свідомо неоднозначне. Для опису цього безлічі буде потрібно використовувати поняття функції спектральної кореляції.

Представляючи знаменник у виразі (9) у вигляді подвійного інтеграла і змінюючи порядок інтегрування і статистичного усереднення, отримуємо

(10)

Позначимо B (w 1, w 2) =; цей вираз називається функція спектральної кореляції (ФСК) [5]. Якщо не враховувати властивості ФСК при мультиплікативно впливі на вхідних процес, можна отримати помилкові результати типу перевищення потенційної завадостійкості [6].

ФСК виражається через автокореляційних функцію B (t1, t2)

(11)

Середня миттєва потужність B (t1, t2) нестаціонарного процесу може бути виражена через ФСК

(12)

Таким чином, внесок у миттєву потужність нестаціонарного процесу вносить не тільки складова з частотою w, але і все корельовані з нею. Це означає, що середні енергетичні характеристики нестаціонарного процесу не локалізуеми за частотою, звідки слід неможливість подання енергетичних характеристик нестаціонарного процесу за допомогою одноразових інтегралів в частотної області.

Середня по часу спектральна щільність потужності нестаціонарного процесу може бути виражена через ФСК

(13)

Спектральна щільність нестаціонарного процесу характеризує внесок складових в інтервалі частот (w + dw) і всіх корельованих складових з іншими частотами.

Для стаціонарних процесів автокореляційних функція залежить тільки від різниці моментів часу t = t1 vt2, і в цьому випадку

(14)

Для стаціонарних процесів всі частотні складові некорреліровани.

При модуляції стаціонарного білого шуму детермінованим опорною напругою r (t) ФСК залежить тільки від різниці частот

(15)

де D w = w 1 - w 2 . Наприклад, при стробування стаціонарного білого шуму періодичної послідовністю імпульсів середня за часом спектральна щільність зменшується в скважність разів; це можна спостерігати на екрані аналізатора спектру. Але з'являється властивість, яку не можна спостерігати на екрані аналізатора спектру - між спектральними складовими з'являється кореляція.

Парадокс. Припустимо, що здійснюється оптимальний прийом відрізка періодичної послідовності імпульсів на тлі білого шуму. Як відомо, оптимальним в даному випадку є узгоджений гребінчастий фільтр. Тепер включимо на вході оптимального гребінчастого фільтра стробірующее пристрій (перемножітель на послідовність прямокутних імпульсів одиничної амплітуди) так, щоб імпульси сигналу проходили без спотворень. Спектральна щільність шуму на виході стробірующего пристрої зменшиться в скважність стробі раз. Здавалося б, що відношення сигнал-шум на виході гребінчастого фільтра повинне збільшитися, але воно і так було максимально можливим, оскільки фільтр оптимальний. Дозволити парадокс допомагає поява кореляції між спектральними складовими. Ясно, що підсумовування "гребінок" фільтру з сфазірованнимі гармонійними складовими сигналу і корелюватиметься складовими шуму результуюче відношення сигнал-шум не підвищить.

Частотно-часова фільтрація може з успіхом використовуватися в спектральних дискримінатор тимчасових інтервалів [7]. У деяких радіоканалах, наприклад, телеметричних каналах наддалекої космічного зв'язку або GPS [1], відношення сигнал-шум виявляється PС/Pш