Узагальнений принцип найменшої дії

канд. біол. наук М. П. Іванов, д-р техн. наук В. В. Кашин

ФНІІ ім.А.А.Ухтомского, СПбДУ

Введені континуально багатозначні функції, що дозволяють адекватно описувати фізичні завдання. Показано їх відмінність від розривних функцій. Сформульовано і вирішено варіаційна завдання для функціоналів з розривним інтегрантом, що залежать від лінійних інтегральних операторів, що діють на шукану оптимізуються функцію, причому ядро оператора і оптимізується функція можуть бути континуально безперервними. За допомогою таких операторів можна адекватно описувати розподілені частинки.

Добре відомий у фізиці принцип найменшої дії [1] заснований на класичному варіаційної численні, коли функціонал залежить від екстремал та її похідних, застосуємо тільки для нейтральних частинок. У замітці [2] показано, що для заряду прискорення запізнюється по відношенню до обурює силі за рахунок лоренцевих сил тертя, тобто для заряду існує деяка перехідна імпульсна характеристика, а рух заряду можна описати інтегральним оператором. Тому для зарядів, коли не можна пов'язати значення прискорення в даний момент із значенням обурення в той же (або інший) момент, принцип найменшої дії непридатний. Для таких завдань потрібно інший математичний апарат. Узагальнений принцип найменшої дії заснований на методах узагальненого варіаційного числення. Розглянемо його.

1. Континуально багатозначні функції

Останнім часом негладких, розривні і сингулярні функції стали привертати увагу [3-5]. Побудований приклад безперервно диференційовної розривною функції на просторі D - Нескінченно диференційовних фінітного функцій [4]. При вирішенні варіаційних завдань екстремалами іноді виявляються негладких, т.зв. розривні або сингулярні функції [3, 5]. Однак поняття розривних функцій в точках розриву) не завжди відповідає фізичним та математичних об'єктів - безперервним кривим, які вони фактично описують.

Розглянемо криву - прямокутний імпульс (рис. 1), визначений і безперервний на всій осі абсцис. Подібні об'єкти можна уявити не тільки математично: наприклад, так можна уявити розкладену на плоскій поверхні мотузку. Але якщо про пряму b ми говоримо, що вона існує, і пишемо прі, то про точки x = 0 і x = 1 говориться, що в них функція терпить розрив першого роду, а прямих a і c як би немає, хоча мотузка фізичних розривів не має.

Рис.1. Безперервна крива - прямокутний імпульс

Мабуть, пояснюється це тим, що розгляду багатозначних функцій традиційно намагаються уникати. У нашому ж випадку точках x = 0 і x = 1 відповідають замкнуті відрізки [0,1], паралельні осі ординат, тобто одній точці на осі абсцис відповідає безліч точок на осі ординат, що має потужність континууму. Виходить не просто багатозначність, а багатозначність потужності континууму.

Розглянемо характерний приклад - перший введену у фізиці розривну функцію - функцію Хевісайда, яка визначається [6-8] як межа послідовностей неперервних функцій, що мають всі похідні. Тому графік граничної функції начебто має бути безперервним. Цьому суперечить визначення функції Хевісайда, дане, наприклад, у монографіях [6-8],

(1.1)

Введемо уточнене визначення функції включення, відповідне граничного переходу в еквівалентних послідовності [6] неперервних функцій, що має безперервний графік,

(1.2)

Якщо функцію включення (1.2) можна представити у вигляді безперервної мотузки, розкладеної на плоскій поверхні, то функція Хевісайда видається тією ж мотузкою, з якій вирізаний шматок (сегмент [0,1]) в точці x = 0. Обидві функції мають рівні односторонні межі, але різні графіки при x = 0 і що випливають з цього властивості.

На першу погляд, визначення (1.2) незвичне, але фактично воно не нове. Коли говорять про значення визначеного інтеграла від позитивної подинтегральной функції, то мають на увазі, що він "дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженою графіком подинтегральной функції, віссю абсцис і прямими, паралельними осі ординат, побудованими на кінцях відрізка інтегрування " [8].

Оскільки визначений інтеграл в кінцевих межах від a до b завжди можна виразити за допомогою зрушених функцій включення H (x) через інтеграл з нескінченними межами

(1.3)

то функції включення (1.2) як раз і описують "прямі, паралельні осі ординат ", чого не скажеш про функції Хевісайда (1.1).

Зауваження. З формули (1.3) випливає, що всі інтегровані функції фактично визначені на всій осі абсцис, що дозволяє, володіючи методикою рішення розривних екстремальних завдань, наприклад, наведеної у монографії [5], легко вирішувати їх, коли екстремум не внутрішній, а досягається на кордоні замкнутого відрізка [a, b].

Використовуючи визначення функції включення (1.2), функцію, що зображена на рис.1, -- прямокутний імпульс - можна записати:

Запропоноване несуперечливе визначення неперервної функції включення дозволяє адекватно описувати безперервні криві в точках математичної розривною. Сам термін "розривна функція" обраний кілька невдало. Фактично ми маємо справу з безперервними функціями, що володіють багатозначністю потужності континууму. Дійсно розривними є функції типу функції Хевісайда (1.1), але фактично, коли йдеться про "розривних функції", в більшості випадків маються на увазі функції виду (1.2).

Цікаво відзначити, що популярні пакети комп'ютерних програм для вирішення прикладних завдань і побудови графіків EUREKA та MATHEMATICS дають графічне зображення функції включення, збережені як H (x) = (1 + sgn (x))/2, саме у вигляді формули (1.2). У монографії [5] в графіках також використовується безперервна функція включення (1.2), хоча це визначення і не наводиться.

Наочне подання d-функції у вигляді звичайної функції в математичній літературі заперечується, тому при вирішенні екстремальних негладких і розривних завдань поняття d-функції не використовується [3, 5]. Для аналітичного рішення екстремальних задач потрібне уточнення визначення в d-функції.

Для уточнення визначення введеної Діраком сингулярної функції - d-функції введемо d-подібну еквівалентну послідовність [6, 9] через функції включення (1.2)

(1.4)

При будь-якому значенні a існує інтеграл

і межа формули (1.4) при a-0 є d-функцією, тобто

(1.5)

Так певна (1.4) - (1.5) d-функція є межею безперервного графіка прямокутного імпульсу висотою 1/2a і шириною 2a. При a-0 висота "стінок" прямокутного імпульсу необмежено зростає, а ширина імпульсу прагне до 0. У межі "стінки" "злипаються" в один промінь - d-функцію, яка розташована на початку координат.

При проходженні функції в da (x) за напрямком від кривої до "стінки" прямокутного імпульсу проходять в протилежних напрямках, тому d -функція (що складається з двох "злиплих" "стінок") одночасно спрямована в протилежних напрямках. (Одну криву, яку проходять в різних напрямках, вважають різними кривими [8 ]).

Певна вище d-функція має наочне уявлення у вигляді променя - позитивною півосі ординат. Маючи нескінченну нульову висоту і ширину, d-функція обмежує одиничну площу (невизначеність типу) і має подвійний спрямованістю.

Слід відзначити, що в наведеному визначенні d-функція не розглядається як "рівна нулю при всіх і обертається в точці x = 0 в нескінченність "[8]. Тепер d-функція розглядається як промінь - лінійне безліч, що має потужність континууму.

Оскільки уточнене визначення d-функції не зачіпає її визначення як функціоналу на просторі D, всі властивості d-функції, що розглядається як сингулярна узагальнена функція, зберігаються.

Похідна d -функції має наочне уявлення у вигляді осі ординат, має подвійний спрямованістю в кожній з півплощини y0 і перетинає вісь абсцис (все це у одній точці x = 0).

Далі все похідні розуміються в узагальненому сенсі [6-9], тобто у вигляді згортки з похідними сингулярною d-функції.

Теорія узагальнених функцій і розроблена техніка обчислень їх похідних [6-9] дозволяють поширити необхідні умови екстремуму на континуально багатозначні (так звані розривні) функції багатьох дійсних змінних.

2. Варіаційні задачі з розривним інтегрантом

Багато прикладні оптимізаційні задачі зводяться до пошуку екстремумів інтегральних функціоналів з розривним інтегрантом. Тут "розривною" розуміється так: не обов'язково розривною. Зазвичай, у тому числі і в монографіях [3, 5], оптимізаційні задачі розглядаються для функціоналів, що залежать від операторів диференціювання. У роботах [10, 11] розглядаються функціонали, залежні від інтегральних операторів, що істотно розширює коло розв'язуваних завдань.

Будемо вирішувати варіаційної задачі для функціоналів з розривним інтегрантом, що залежать від лінійних інтегральних операторів

(2.1)

де h (t) -- екстремали, щодо якої припускаємо, що.

Функціонал якості I може залежати від декількох операторів

(2.2)

де F [T] -- інтегрант, що визначає зв'язок (композицію) операторів F i в функціоналі I. Інтегрант F [T] може бути безперервним, гладким, негладких і навіть континуально багатозначним або розривним.

Оптимізації методами негладких аналізу присвячена монографія Френка Кларка [3], але методику Кларка застосувати до функціоналом, що залежать від інтегральних операторів, не можна, як не можна її застосовувати і для функціоналів з континуально багатозначним або розривним інтегрантом. Крім того, екстремал у Кларка передбачаються абсолютно безперервними. Все це дещо звужує область застосування негладких оптимізації Кларка - теорії, що ввібрав в себе досягнення його попередників, на кoторих він посилається у своїй монографії. Оскільки оптимізуються функціонал залежить від інтегральних операторів, метод, використаний в монографії [5], непридатний теж. У той же час для розв'язання сформульованої задачі досить методів варіаційного числення, теорії узагальнених функцій і теореми Фубіні [8], тому будемо поступати так.

негладких, континуально багатозначний або розривною інтегрант можна представити за допомогою функції включення H (x) (1.2) або її похідних, тобто d-функції (1.5) та її похідних, використовуючи їх фільтруючі властивості. При варіюванні функціонала I всі похідні будемо розуміти в узагальненому сенсі

.

Зауважимо, що цей інтеграл тепер має математичний і фізичний змив, а не є "просто символом", як при класичному визначенні d-функції.

За загальним правилом [9-12] введемо однопараметріческое сімейство кривих, де d h (t)-довільна функція з Lp [a, b], a - малий параметр. Підставляючи в оператори (2.1), а оператори (2.1) у функціонал (2.2) і диференціюючи I з a, отримаємо варіацію функціонала d I і прирівняти її нулю:

(2.3)

Тепер, щоб отримати необхідна умова екстремуму, треба виключити довільну функцію з варіації функціоналу d I. У класичному варіаційної вирахуванні це робиться з допомогою інтегрування по частинах, яке в даному випадку не застосовується. Вважаючи, що до варіації d I застосовна теорема Фубіні [8], однією з умов застосовності якої може бути сумміруемость творів

змінимо у формулі (2.3) порядок інтегрування [10, 11]

(2.4)

Використовуючи основну лема варіаційного числення у формулюванні Л. Янга [7], отримаємо аналог рівняння Ейлера для функціоналів з континуально багатозначним або розривним інтегрантом, що залежать від лінійних інтегральних операторів, діючих на екстремали,

(2.5)

Слідство. Якщо скористатися фільтруючим властивістю d-функції та її похідних, і позначити ядра операторів (2.1) через Ki (x, t) = d (i) (xt), то рівняння (2.5) набуде вигляду рівняння Ейлера

(2.6)

найпростішої варіаційної завдання [12], але для функціоналів з континуально багатозначним або розривним інтегрантом

(2.7)

залежних від шуканої функції h (t) та її похідних h (i) (t).

Приклад. Завдання Дідони з ровом. У розпорядженні царівни є мотузка заданої довжини L, якої слід обмежити ділянка узбережжя, причому берегова риса представляється лінією x = 0 на площині Оtx (Рис.2). При цьому треба знайти криву довжини L, що лежить в півплощини, з'єднує точки (-1,0) і (1,0), таку що площа між кривою і віссю t максимальна.

Прагнучи мати для прикладу негладких інтегрант, Кларк модифікував [3, с.178] завдання Дідони наступним чином. Він вважає, що для деякого a> 0 земля в області x> a гіршої якості і дохід з неї становить тільки половину доходу з землі в області x