Електричні ланцюги з нелінійними перетворювачами
і оперативна корекція режиму енергосистеми
Хмільник С.І., к.т.н.
Інститут "Енергомережапроект", Москва
Розглядаються електричні ланцюги з нелінійними
перетворювачами. Показується, що в такімх ланцюгах досягається оптимум
деякої опуклій функції струмів електричного кола. Далі розглядається
завдання оперативної корекції режиму енергосистеми і формулюється критерій
якості оптимізації режиму по активній потужності. Показується, що цей
критерій збігається з вищезгаданою функцією з точністю до позначень. Тим
самим завдання оперативної корекції зводиться до розрахунку певної
електричного кола або до розв'язання задачі лінійного програмування. Вказується
метод вирішення цього завдання
1. Проста електричний ланцюг
Розглянемо електричний ланцюг з джерелами струму,
підключеними до вузлів ланцюга, і джерелами напруги, включеним до гілки ланцюга.
Така електричний ланцюг описується наступною системою рівнянь:
, (1)
, (2)
де
H - вектор струмів, створюваних джерелами струму;
I - вектор струмів в гілках ланцюга;
E - вектор напружень в гілках ланцюга;
- вектор
вузлових потенціалів;
N - матриця інціденцій з елементами 1,0, -1;
R - діагональна матриця опорів в гілках
ланцюга.
У цій системі рівняння (2) описує перший закон
Кірхгофа, уравненіe (1) - другий закон Кірхгофа.
Розглянемо
функцію
. (3)
Необхідні умови оптимальності цієї функції при
обмеження виду (2) мають вигляд рівняння (1), де є вектором невизначених множників
Лагранжа для умови (2), які з'являються, коли оптимізується функція
доповнюється складовою. Далі
маємо:
(4)
Звідси випливає, що функція (3), має глобальний
мінімум. Отже, мінімізація функції (3) при обмеженні у вигляді ураненій першим
закону Кірхгофа (2) приводить до рівнянь другого закону Кірхгофа (1).
Отже, розрахунок електричного кола постійного струму еквівалентний пошуку
мінімуму функції (3) при обмеженні (2). Іншими словами електричний ланцюг
моделює задачу квадратичного програмування.
Денніс в [1] показав, що всі ці висновки
справедливі і в тому випадку, коли електричний ланцюг містить діоди і так
звані трансформатори постійного струму, які ми далі будемо називати
трансформаторами Денніса - ТД.
Діоди описуються нерівностями і рівністю виду
(5)
(6)
. (7)
Необхідні умови оптимальності функції (3) при
обмеження виду (5) мають вигляд (6, 7).
Трансформатор Денніса ТД містить дві гілки - первинну зі струмом і напругою і вторинну зі струмом і напругою. Він описуються
рівняннями
(8)
(9)
де h - коефіцієнт трансформації. З цих
рівнянь випливає, що
(10)
тобто потужності, віддають первинної та вторинної
гілками ТД в електричний ланцюг, у сумі дорівнюють нулю. Необхідні
умови оптимуму функції (3) при обмеженнях виду (8) мають вигляд (9).
2. Зворотні перетворювачі
оборотний перетворювач (ОП) запропонований в [2] та
являє собою пристрій, що містить дві гілки - первинну зі струмом і напругою і вторинну зі струмом і напругою. У ньому (у
відміну від ТД) струми гілок залежать від напруги суміжних гілок наступним
так:
(1)
(2)
де - диференційованої функції. Будемо позначати
ВП так, як показано на фіг. 2.1.
Зокрема, при, де h - константа (коефіцієнт
перетворення), цей перетворювач є лінійним - (ЛОП). У ньому струми
гілок залежать від напруги суміжних гілок наступним чином:
(3)
(4)
Звідси випливає, що
(5)
тобто потужності, віддають первинної та вторинної
гілками ЛОП в електричний ланцюг, у сумі дорівнюють нулю (також як і в ТД).
Приклад 2.1 .. Конструкція ЛОП представлена на фіг.
2.2. Він складається з двох джерел струму VC-1 і VC-2, керованих напругою:
напруга на одному з них є керуючим для іншого
У загальному випадку ВП є нелінійною (НОП).
Приклад 2.2. В [3] розглянуто синусно-косінусний
перетворювач СКП, у якому
(6)
(7)
Відомо, що для енергетичних розрахунків можна
прийняти
(8)
(9)
У цьому випадку СКП може бути реалізований на
суматора і помножувача.
3. Електричний ланцюг, що містить ОП.
Рівняння електричного кола, що містить ОП,
враховують той факт, що в деякі гілки влючаючи первинні або вторинні гілки
ОП, а деякі з струмів гілок є одночасно первинними або вторинними
струмами ОП [2]. Ці рівняння мають такий вигляд:
(1)
(2)
(3)
(4)
де
--
діагональна матриця, в якій "1" знаходяться в елементах,
відповідних гілкам, що складається з первинних ланцюгів ОП,
--
діагональна матриця, в якій "1" знаходяться в елементах,
відповідних гілкам, що складається з вторинних ланцюгів ОП.
Розглянемо функцію
(5)
Необхідні умови оптимальності цієї функції при
обмеження виду (2) і (3) мають вигляд рівнянь (1) і (4), де
є
вектором невизначених множників Лагранжа для умови (2), коли
оптимізується функція доповнюється складовою,
є вектором невизначених множників
Лагранжа для умови (3), коли оптимізується функція доповнюється складовою.
Таким чином, розрахунок даної електричного кола еквівалентний
пошуку безумовного оптимуму функції
(6)
Далі маємо:
Звідси випливає, що функція (11) має глобальний
мінімум при
. (7)
Це має місце, наприклад, при і, зокрема, для ЛОП. Синусно-косінусний
перетворювач СКП, розглянутий у прикладі 2.2, задовольняє співвідношенню (7)
при.
Таким чином, при дотриманні умови (7) у
електричного кола досягається глобальний мінімум деякої опуклій функції
(6) струмів I, потенціалів і напруг E
електричного кола. Всі ці висновки справедливі і в тому випадку, коли вона
містить трансформаторами Денніса і діоди. Останнє означає, що
математична модель (1-4) електричного кола з ОП може бути доповнена
нерівностями виду (1.5-1.7):
(8)
(9)
(10)
де
--
діагональна матриця, в якій "1" знаходяться в елементах,
відповідних гілкам, що містить діоди,
- напруги
на діодах
При цьому в електричному ланцюзі, що містить ОП та
діоди, досягається мінімум функції (6) при обмеженні (8). Цей мінімум
є глобальним при виконанні умови (7)
4. Здвоєна електричний ланцюг
Розглянемо окремий випадок електричного кола з
оборотними перетворювачами - т.з. здвоєну електричний ланцюг. Цей ланцюг
складається з двох простих електричних ланцюгів, з'єднаних через ВП таким
чином, що первинна гілку кожного ВП включена в перший ланцюг, а вторинна
гілка - у другий ланцюг. З (3.1-3.4) слідують рівняння здвоєною електричної
ланцюга:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Здвоєна електричний ланцюг моделює наступну
завдання опуклого програмування: мінімізується функція
(7)
при обмеженнях (3, 4, 5). Необхідні умови
оптимуму цієї функції за даних обмеженнях мають вигляд рівнянь (1, 2, 6),
де
є
вектором невизначених множників Лагранжа для умов (1) або (2), коли
оптимізується функція доповнюється складовою,
є вектором невизначених множників
Лагранжа для умови (5), коли оптимізується функція доповнюється складовою.
Приклад 4.1. На фіг. 4.1. наведено приклад здвоєною
електричного кола.
5. Оперативна
корекція режиму електроенергетичної системи за активної потужності
Завдання необхідна для того, щоб розподілити
завдання на генеруються потужності між електростанціями в деякий розрахунковий
момент часу [4]. Відомими є виміряні в даний момент часу
значення вузлових потужностей і прогнозовані на розрахунковий момент часу
потужності споживачів. Розподіл генеруються потужностей має
мінімізувати певний показник якості, який мінімізує
