Перспективні
аспекти розвитку фізико-топологічних уявлень про час
І.В. Злобін,
Член Фінляндської Астрономічної Асоціації, Гельсінкі, Фінляндія
Час, як
форма руху матерії є детерміновану систему з жорсткими
причинно-слідчими зв'язками. Ці зв'язки характеризуються стійкою
консеквентно зміною таких хронологічних параметрів, як - Минуле, Справжнє
і Майбутнє.
До розряду загальних
фундаментальних властивостей Часу, прийнятих сьогодні у фізиці, найбільш точно
встановленими є: гомогенність і ізотропності [1].
Тут і скрізь,
терміни: Час, Минуле, теперішнє і майбутнє, будемо записувати з великої
літери там, де про них йдеться, як про реальних фізичних факторах.
З точки зору
існуючої реальності, розумно припустити, що Минуле, Теперішнє та Майбутнє
можуть корелювати з поняттям-спектральних параметрів Часу. На
"стрілі" Часу [2] ці критерії групуються наступним чином:
Майбутньому належать точки Часу що лежать над сьогоденням і минулим, Справжнє
займає проміжне положення між областями Минулого і Майбутнього, а Минуле
проектується на ту частину на "стрілі" Часу, яка розташовується
нижче зони включає точки Часу Сьогодення і тим більше точки Часу
Майбутнього (Мал. 1). Така картина природно несуперечливою, як відносно
контінууальності Часу, так і з точки зору наших оцінок хронологічних
етапів, тобто, що є - "вчора", "сьогодні",
"завтра".
З фізичної
точки зору доцільно відзначити, що в даному аналізі не проводиться
поділ Майбутнього і Минулого на хронологічний і каузальне. Специфіка
прийняття такого рішення полягає в тому, що Хокінг і Елліс [2] показали:
"... В фізично реалістичних рішеннях умову причинності і
хронологічний умова еквівалентні ". Таким чином, у даному
дослідженні оперуємо моделлю максимально наближеною до реальних
макрофізіческім процесів, тобто початкові умови задаються базисом,
засновується на незворотності Часу реального Світу [3].
Для ясності
розуміння квінтесенції наступних понять і пропозицій необхідно
ввести ряд позначень. Необхідність цього кроку продиктована тим, що в
даний час важко знайти достатньо координально програму ілюструє
фізичну концепцію Часу.
Позначимо через
Час
n-вимірювань, тобто безліч всіляких наборів п чисел із звичайною
топологією. Нехай означає "нижню половину", тобто
область, в якій
t <0 (область Минулого - Р). І
нехай означає
"верхню половину", якою t
> 0 (область Майбутнього - F). Тоді можна задати відображення Ф деякого
відкритого безлічі на відкрите
безліч якщо координати точки в Q '^
є образом координат точки k в Q
. Говорячи про n-вимірі Часу Т на початку абзацу ми природним чином
однозначно очікуємо, що на макро - і мегамасштабах навколишнього нас фізичної
реальності Час має один вимір, тобто n = 1. І як наслідок буде
спостерігатися згортання координат до виду a. Правда,
поки відкритим залишається питання щодо існування багатомірності у
Часу на планковской рівні [4].
Задамо, так
зване універсальне безліч Часу - безліч,
що складається з усіх елементів розглянутих в даній проблемі. У нашому випадку
тотожно Часів. Разом з
універсальним безліччю має місце
набір, де - біектівное
відображення F і Р соответсвенно на такі відкриті множини в Т1, що
1) F, Р
утворюють покриття, тобто;
2) якщо не порожньо (
зауважимо, що ця умова виконується, тому що перетин множини Майбутнього
і безлічі Минулого формує безліч Справжнього - PR, тобто = PR), то
компазіція
, є
відображення деякого відкритого підмножини Т1 на відкрите підмножина Т (
Рис. 2,3).
Тут і всюди,
приймемо такі скорочені умовні позначення для Майбутнього - F (future), для
Справжнього - PR (present), для Прогплого - Р (past). Слідуючи загальноприйнятим
математичним принципам введення поняття топології, сформулюємо критерії
утворюють конструкцію топологічного Часу.
На
універсальній множині Часу
групується структура топологічного Часу, якщо задано збори виду (F,
PR, Р) її підмножин, що володіє наступними властивостями:
1) збори (F,
PR, P) і порожня множина належать;, 2)
об'єднання будь-якого числа множин зборів (F, PR, Р) і перетин будь-якого
кінцевого числа множин зборів (F, PR, Р) належать (F, PR, Р).
Збори (F,
PR, Р), що задовольняє умовам 1) і 2), називається топологією на
універсальній множині Часу. А значить, дублет - і (F, PR,
Р) утворюють топологічний Час.
Таким чином,
можна сказати, що на універсальній множині Часу домінують
безлічі: Майбутнього, Сьогодення, Минулого та порожня множина. В [2] ми знаходимо
визначення Майбутнього і Минулого, яке оцінюється з точки зору поділу
їх на хронологічний і причинне. Нижче сформулюємо визначення, що стосуються
Минулого, Сьогодення й Майбутнього, в яких будуть міститися більш розширені
відомості про цих Тимчасових структурах.Определеніе 1.
Безліч
Майбутнього (F) - це множина всіх точок
що належать цій безлічі і лежать на часовій осі так, що вони утворюють
відкрите безліч кожна точка, якого є внутрішньою (причому, де - точки
безлічі); пріетом безліч F має мінорант, тобто воно обмежене знизу.
Тоді дане безліч містить мінімальний елемент. У зв'язку з цим, можливо
вказати нижню межу цієї множини:
, де форма являє
собою безліч всіх граничних точок безлічі Майбутнього, які є елементами
частково упорядочного множини, ЯКІ передують будь-якого елементу даного
безлічі, (Мал. 1,2).
Визначення 2.
Безліч
Минулого (Р) - це множина всіх точок
що належать цій безлічі і лежать на часовій осі так, що вони утворюють
відкрите безліч кожна точка, якого є внутрішньою (причому
, де - точки
безлічі); при цьому безліч Р має мажоранту, I
тобто воно
обмежена зверху. Тоді згідно Лемма Цорна [5] дане множетсво містить
максимальний елемент. У зв'язку з цим, можливо вказати верхню межу цього
безлічі:, де форма являє
собою безліч всіх граничних точок безлічі Минулого, які є елементами
частково упорядочного натовпом, що передує будь-який елемент даного
безлічі, (Мал. 1,2).
Визначення 3.
Безліч
Справжнього (PR) - це множина всіх точок С; належать тому безлічі і
отриманих шляхом перетину множин Майбутнього і Минулого,. Ці точки
лежать на часовій осі так, що утворюють відкрите безліч кожна точка,
якої є внутрішньою (причому, де - точки
безлічі); пріетом багато PR - є обмежена кількість, тобто безліч
обмежена зверху і знизу. У зв'язку з цим, можливо вказати мажоранту і
мінорант для PR, тобто два види меж:
верхніх і нижніх, (Мал.
1,2).
На (Рис.2)
показана Венна (J. Venn) [5] діаграма (графічний спосіб зображення формул
алгебри множин), яка наочно демонструє фізичний зміст вище
зазначених дефініцій. На цій діаграмі впевнено проглядається калібрування
між кордонами множин Минулого, Сьогодення й Майбутнього. Ця калібрування
зведена в систему тотожностей
(1)
Визначення 4.
Мінорант
Справжнього накладається на мажоранту Минулого і мажоранту Справжнього з'єднується
з мінорантом Майбутнього. Ці межі гладко зшиваються між собою, без розривів.
Визначившись
по деяким загальним ключових питань топологічної інтерпретації конструкції
Часу [3], перейдемо до аналізу двох приватних положень, які тісно
пов'язані з топологічні Часом.
Оскільки, з
одного боку, при завданні топологічного Часу ми керувалися
строгими принципами топології, як однієї з основних математичних структур, а
з іншого боку - оперуючи реальної специфікою хронологічній мінливості в
складних і масштабних системах, то у зв'язку з цим необхідно з'ясувати фізичну
сутність таких складових частин Тимчасової топології, як пусте безліч і безліч
Справжнього PR.
Запишемо
наступні два формулювання.
Перша:
показати умовність існування на універсальній множині Часу порожнього
множини і фізично
обгрунтувати елімініровку цієї категорії на.
Друга:
представити аргументи на користь існування змінного характеру у
Справжнього, яке виражається в тому, що при загальних фізичних оцінках PR не
входить в у явному вигляді.
Найбільш повне
на наш погляд, рішення поставлених вище приватних завдань можна отримати в тому
випадку, якщо до них застосувати алгоритми алгебри Буля (G. Boole) [5], тобто
алгебри виробляє теоретико-множинні операції над множинами. Ця
алгебра має своєрідні закони дії, які суттєво відрізняються від
законів дії над числами.
Сформулюємо
таку пропозицію.
Пропозиція 1.
У фізично
реалістичних умовах на універсальній множині Часу не
проглядаються області індетіфіцірующіеся з порожнім безліччю.
Дано:. Довести:.
Доказ:
1) Перепишемо
загальний вираз для універсального безлічі Часу
(2)
2) В теорії
множин всяке пусте безліч можна уявити, як перетин деякого
множини і його доповнення. Під доповненням множини в алгебрі Буля розуміється
множина всіх елементів універсальної множини не належать вихідного
безлічі. Таким чином, легко
записати трьома способами
(3)
Взагалі - те,
запис порожнього безлічі у вигляді триплету (3) не позбавлена доцільності,
оскільки ми повинні, в силу існування топології Часу, враховувати всі три
спектральних компаненти Часу та їх доповнення.
3) Враховуючи (3
) Перепишемо (2) у вигляді
, (4.1)
, (4.2)
, (4.3)
Тут, вельми
важливим являтся той факт, що в булевої алгебри при правилах дії над
множинами, зведених в рівності, необхідно суворо дотримуватися чергування,
зліва і справа, членів у цих виразах.
4)
Проаналізуємо формулу (4.1)
Що й
потрібно було довести, тобто.
5) Розглянемо
рівність (4.2)
Довели
існування рівності виду
6) І, в
ув'язненні, перевіримо вираз (4.3)
Отримали
фінітного результат типу.
Проведемо
експлікацію отриманих вище результатів стосовно до реальним фізичним
умовами. Для цього, спочатку, звернемося до визначення; пусте
безліч - це безліч, що не містить жодного елемента. Такого роду
ситуація призводить до того, що на універсальній множині Часу пусте
безліч - вирізано. А це означає, що на осі Часу Т1 важко виділити точки
для таких областей, які мали б конкретні координати. Крім цього, в
алгебри множин за порожнім безліччю закріплена функція нуля алгебри чисел,
тобто адитивна операція з будь-яким
довільно обраним безліччю не міняє цієї множини. Таким чином, для
процесів пов'язаних з концепцією фізичної Часу, порожня множина
виступає як нуль-момент часу, тобто відповідає такій ситуації, в якій
відлік Часу дорівнює нулю. Існування такої точки можна, ймовірно,
прогнозувати тільки в системі координат корелює з точкою початку
роздування Всесвіту. На даному ж етапі розвитку уявлень про фізичні
процесах навколишнього нас Миру, починаючи з рівня фундаментальних взаємодій
і закінчуючи масштабами видимої частини Всесвіту, не можливо знайти таку область,
де б реалізовувалося вище вказане фізичне явище.
Значить,
достовірно і однозначно вказати в природному Часу точку (точки)
еквівалентною не
представляється можливим. Одн, все ж таки, ми повинні усвідомлювати, що умови
топологічного Часу сприяють тому, щоб фігурувало
б в загальній топології Часу, як складова частина загального рішення. Адже, по суті
справи, порожня множина вводиться для того, щоб ми могли говорити про множинах,
як про системи апріорі існуючих. Сформулюємо таку пропозицію.
Пропозиція 2.
Универсальное
безліч Часу адекватно
двох класів Тимчасових множин, які пропорційні тільки безлічі
Майбутнього F безлічі Минулого Р, а на безліч Справжнього PR накладається
принцип змінності.
Проведемо
верифікацію цієї пропозиції.
Дано:.
Довести:.
Доказ:
доказ будемо проводити для спільного рішення 1Т.
1) Оскільки і з огляду на
вираз (3) представимо універсальне безліч Часу у вигляді
тріади:
, (5.2)
, (5.2)
(5.3)
2) Досліджуємо
варіант (5.1)
Таким чином
доведено, що вислів --
існує.
3) Аналіз
запису (5.2)
Перед
доказом, доцільно зробити наступне зауваження. Так як, Справжнє
PR утворено перетинанням Майбутнього і Минулого, то легко уявити, що
доповнення безлічі Справжнього є
доповнення перетинів множин Майбутнього і Минулого, тобто.
Тут
доведено, що універсальне безліч Часу вільно від порожнього множини і
від безлічі Справжнього. 4) Розглянемо випадок (5.3)
Має місце
кінцевий результат, в якому відображено, що тільки об'єднання Майбутнього і
Минулого формує універсальне безліч Часу.
Зауважимо, що
при доведенні Пропозицій 1 і 2 свідомо наводяться повні записи
алгебраїчних перетворень. Це необхідно робити, по-кільки потрібна повна
ясність при використанні методики булевої алгебри стосовно композиції
що існує між минулим, сьогоденням і майбутнім.
Представлена
вище серія доказів, природно, вимагає самої прямої ув'язки з фізичної
реальністю оточуючого нас світу. І тому подивимось яким чином можна
використовувати отримані результати.
Спершу
звернемося до Рис. 3. Ця діаграма схожа за своєю формою з тією, яка дається
Хокінг та Еллісом в [2]. Але між ними є принципова відмінність. Якщо в
[2] діаграма створюється головним чином для простору, то тут схема
стротся в ракурсі Тимчасових відносин.
Отже, на Рис. 3
, В лівій частині фігурує універсальне безліч Часу. У іньектівни
безлічі Майбутнього, Сьогодення і Минулого, які є підмножинами При цьому
повинен дотримуватися принцип каузальності і умова перетину F і Р. Виберемо
на безлічі Справжнього PR довільну точку k, де. У зв'язку з
тим, що перетин множин Майбутнього і Минулого призводить до виникнення
безлічі Справжнього, то коли.
У правій ж
частині схеми показано Час n = 1
Довідково-аналітичні матеріали. Подивимося, яким чином трансформується ліва частина при
відображенні на.
Перший крок: за
рахунок існування оператора взаємо-однозначної відображення відбувається
виділення безлічі і області. До того ж,
тепер, координатою точки k є координата. Причому.
Другий крок: при
дії оператора взаємно-однозначної відображення спостерігається
утворення безлічі і області;. При цьому,
координатою точки k є координата. Де.
Третій крок:
композиція забезпечує
послідовну транспозиція координати на
координату, області на область і безлічі на безліч, десь є
зворотне відображення.
Ми бачимо, що
на переважають
тільки два повних безлічі і, тобто
безлічі майбутнє і минуле. Безліч Справжнього PR, як воно представлено
на універсальній множині Часу в лівій частині Рис. 3, в явній формі на не
екстраполюється. Дійсно, одна частина PR належить F, тобто область, а інша
належить Р, тобто область. Іншими
словами, безліч Справжнього розпадається на дві складові частини. Ці частини
асоціюються, як підмножини множин Минулого і Майбутнього. Спостерігається,
свого роду, змінність, тобто реально ми можемо говорити про умовно заданої
Тимчасової характеристиці.
У зв'язку з цим,
вельми проблематично однозначно вказати в реальному фізичному Часу область
еквівалентну Справжньому, і яка, до того ж була б прийнята за точну копію
системи відліку, щодо якої евентуально було б вказати жорстко
детерміновані області Минулого і Майбутнього. В умовах навколишнього нас
насправді не представляється можливим ототожнити таке рішення.
Хорошим прикладом на підтвердження вище сказаного служить принцип завдання
Справжнього методом хронологічній градації. Де під хронологічній градацією
маються на увазі відомі шкали часу, наприклад: секундна, хвилинна, годинна
, тощо. Залежно від того, які задаються початкові умови (шкали) для, де - шкала
Часу, таким буде і вибір умови існування Р і F. Причому, в?? бор для PR
вельми неоднозначний і залежить від масштабу фізичних систем.
Відзначимо так само,
що в силу змінної апроксимації PR, даний спектральний параметр Часу
буде мати нечітку фіксацію кордонів і протягом тижня.
Таким чином,
універсальне множенство Часу (, Час
n-вимірів) у фізично реалістичних рішеннях повинна строго залишатися в
як форми, трансформірующйся в адитивність двох домінуючих у Часу
сукупностей - Минулого і Майбутнього.
І все-таки, хоча
Справжнє і має тендентность до невизначеної структурі, в нинішніх умовах
фізика досить успішно працює з цими параметром. І на рівні сьогоднішніх
фізичних уявлень ми не підходимо строго до опису цієї Тимчасової
області.
Основне завдання
даного дослідження, з одного боку, полягає в тому, щоб хоча б у
першому наближенні розібратися у фізичній сутності тих відомих
характеристик, які однозначно пов'язані з хронологією, а з іншого --
опробивать ймовірний математичний апарат, який міг би бути використаний в
як інструмент для опису дійсних Тимчасових процесів.
Кратко,
резюмуємо отримані в роботі висновки: 1) висунуті аргументи на користь того,
що Час, як фізична система, має певний набір спектральних
параметрів - це Майбутнє, Теперішнє та Минуле; 2) вводиться поняття
топологічного Часу; 3) даються розширені визначення минулому, сьогоденню
і Майбутньому; 4) виділено, що Тимчасові спектральні параметри мають кордону і
встановлюється їх взаємна відповідність по відношенню один до одного; 5)
використовуючи алгоритми алебри Буля проводиться доказ пропозицій, у
яких передбачається, що зводиться до
унітарності тільки Майбутнього і Минулого, а Справжнє потрапляє під дію
принципу змінності. А так само, що не може
існувати на універсальній множині Часу в явному вигляді.
На закінчення,
хотілося б відзначити, що сьогодні на порядку денному гостро постає питання про
необхідності самого серйозного звернення фундаментальної фізики до
конструктивної розробці фізичних основ Часу. У майбутньому, ми можемо
зіткнутися з тим, що у нас не знайдеться потрібних фізичних напрацювань у
щодо розуміння природи Часу. Це може призвести до певного роду
ускладнень у деяких областях фундаментальної фізики.
Список
літератури
1. Л. Д. Ландау,
Е. М. Лифшиц, Механіка, Изд. 3, М, Наука, 1973.
2. С. Хокінг,
Дж. Елліс, Великомасштабна структура простору часу, Мир, М., 1977.
3. С. М.
Коротаєв, Земля і Всесвіт, 2,1989, с. 53.
4. А. Д. Сахаров,
- ЖЭТФ, 1984, т. 87, с. 375.
5. Ю. Я.
Каазік, Математичний словник, Валгус, Таллінн, 1985.
