Приклад рішення задачі по розділу
«Перехідні процеси»
Завдання. Дана
електричний ланцюг, в якій відбувається комутація (Мал. 1). У ланцюзі діє
постійна ЕРС Е. Потрібно визначити закон зміни в часі струмів і
напруг після комутації в гілках схеми.
Завдання слід
вирішити двома методами: класичним і операторних. На підставі отриманого аналітичного
вираження побудувати графік зміни шуканої величини у функції часу в
інтервалі від t =
0 до t =, де - менший за модулем корінь характеристичного рівняння.
Параметри ланцюга:
R1 = 15 Ом; R2 = 10 Ом; С = 10 мкФ; L = 10 мГ; Е = 100 В.
Рішення.
Класичний метод.
Рішення завдання
виходить у вигляді суми примусу і вільного параметри:
i (t) = Іпр (t) + iсв (t); u (t) = uпр (t) +
uсв (t),
(1)
де, а.
1. Знаходимо струми і напруги
докоммутаціонного режиму для моменту часу t = (0 -). Так як опір
індуктивності постійному струму дорівнює нулю, а ємності - нескінченності, то
розрахункова схема буде виглядати так, як це зображено на рис. 2. Індуктивність
закорочені, втеча з ємністю виключена. Так як у схемі тільки одна гілка, то
ток i1 (0 -) дорівнює струму i3 (0 -), ток i2 (0 -)
дорівнює нулю, і в схемі всього один контур.
Складаємо
рівняння за другим законом Кірхгофа для цього контуру:
,
звідки
= 4 А.
Напруга на
ємності дорівнює нулю [uC (0 -) = 0].
2. Визначимо
струми і напруги безпосередньо після комутації для моменту часу t = 0 +. Розрахункова схема наведена на рис.
3. За перші закону комутації iL (0 -) = iL (0 +), тобто ток i3 (0 +) = 4 А. По другому закону комутації uC (0 -) = uC (0 +) = 0.
Для контуру, утвореного ЕРС Е,
опором R2 і ємністю С, згідно другого закону Кірхгофа
маємо:
або
;
i1 (0 +) = i2 (0 +) + i3 (0 +)
= 14 А.
Напруга на
опорі R2 одно Е - uC (0 +) = 100 В, напруга на індуктивності
дорівнює напрузі на ємності.
3. Розраховуємо примушені складові
струмів і напруг для. Як і для докоммутаціонного режиму індуктивність
закорачівается, втеча з ємністю виключається. Схема наведена на рис. 4. і
аналогічна схемі для розрахунку параметрів докоммутаціоного режиму.
= 10 А;
= 100 В;;
4. Визначаємо
вільні складові струмів і напруг для моменту часу t = 0 +, виходячи з виразів i (0 +) = Іпр (0 +) + iсв (0 +) і u (0 +) = uпр (0 +) + uсв (0 + ).
-6 А; uсвL (0 +) = uсвС (0 +) = 0;.
5. Визначаємо
похідні вільних струмів і напруг у момент часу безпосередньо після
комутації (t =
0 +), для чого складемо систему рівнянь, використовуючи закони Кірхгофа для схеми,
що на рис. 3, поклавши Е = 0.
;
(2)
похідну
струму через індуктивність можна знайти, використовуючи вираз:, а похідну напруги на ємності - з рівняння. Тобто
і,
звідки
; (3)
Підставляючи (3)
в (2), після рішення отримуємо:
;;;
Всі отримані
результати заносимо в таблицю.
i1
i2
i3
uL
uC
uR2
t =
0 +
14
10
4
0
0
100
10
0
10
0
0
100
4
10
-6
0
0
0
-105
-105
0
106
106
-106
6. Складаємо
характеристичне рівняння. Для цього виключимо в послекоммутаціонной схемі джерело
EDS, розірвемо будь-яку гілку і щодо розриву запишемо вхідний опір
для синусоїдальної струму. Наприклад, розірвемо гілку з опором R2:
.
Замінимо jw на р і прирівняв отримане рівняння
нулю. Отримаємо:
або
R2CLp2 + pL + R2 = 0.
Звідки знаходимо
коріння р1 і р2.
р1
= -1127, Р2 = -8873.
7. Визначимо
постійні інтегрування А1 і А2. Для чого
складемо систему рівнянь:
;
або
;
Наприклад,
визначимо постійні інтегрування для струму i1 і напруги uL. Для струму i1 рівняння запишуться в наступному вигляді:
4 = А1i + А2i;
.
Після
рішення: А1i = -8,328 А, А2i = 12,328 А.
для напруги uL:
;
.
Після
рішення: = 129,1 В, = -129,1 В.
8. Ток i1 Згідно
(1) змінюється в часі за законом:
i1 (t) = 10 - 8,328 е-1127t +
12,328 e-8873t,
а напруга uL:
uL (t) = 129,1 e-1127t - 129,1 e-8873t.
