Математика хаосу і перший кроки теоретичної історії

Анна Шмельова.

На рубежі тисячоліть все частіше доводиться чути про зміну імперативів розвитку цивілізації, глобальних демографічних прогнозах і стратегічному плануванні майбутнього людства. Фахівці звертаються до математичним методам моделювання історичних процесів. Все це - ключові поняття нової науки про людському суспільстві. Старою назвою "історія" тріщить по швах, оскільки минуле цією наукою вивчається нарівні з сьогоденням і майбутнім. Вона має справу з умовного способу, розглядає особливості, перспективи та тенденції кожного моменту і відрізняє що сталося, від можливого лише за координатами на шкалі часу.

Зазвичай комп'ютер в руках історика асоціюється або з мультимедіа-енциклопедією, або з грою "Цивілізація". Насправді ж справі питання куди серйозніше. З 1986 року існує Міжнародна асоціація History and Computing (AHC), що має тепер підрозділ в Росії; в університетах Західної Європи введена спеціалізація за профілем History & Computing, а з 1989 року виходить міжнародний журнал з історичної інформатики.

У роботі AHC виділилося напрямок, пов'язаний з математичним моделюванням історії.

Важко повірити, що це реально. Традиційно історія вважалася гуманітарною наукою. Розрахункова завдання завжди здавалася далеко за межами мислимих потужностей - не обчислювати ж, справді, кожну лінію людської долі, кожне зіткнення інтересів, кожне рішення, осяяння і помилку! Тим більше, що весь цей коктейль життя щедро заправлений субстанцією, що іменується збігом обставин або випадковістю.

Проте зазначимо, що історична випадковість - зовсім не те, що випадковість математична. Строго кажучи, в історії зовсім немає випадковості. У математики випадкові процеси прийнято називати також стохастичними (приклад -- кидання монетки), а сюрпризи, які дарує нам доля, звичайно мають зовсім інше походження.

Припустимо, ви зустріли в метро однокласника, якого не бачили кілька років. Напередодні ви отримали зарплату і вирушили на метро за давно планованої покупкою. Зазвичай ви їздите на тролейбусі, але через ожеледицю вирішили, що метро буде надійніше ... Ви купили магнітну картку і пропустили один потяг, звіряючи годинник. Ваш однокласник, у свою чергу, планував виїхати трохи раніше, але його начальник по поганій своєю звичкою зупинив його на порозі і півгодини проводив додатковий інструктаж. І от у результаті в розпал дня ви опинилися в одному вагоні метро. Чи випадкова ця зустріч?

З одного боку, так, адже ви її ніяк не чекали. З іншого ж -- серед її причин немає жодного випадкового, з математичної точки зору, події. Ніхто з вас, приймаючи рішення, не кидав монетку. Кожен ваш крок чимось пояснювався і сам пояснював те, що відбулося надалі. Ви сіли в останній вагон поїзда, щоб бути ближче до виходу, а він - тому що поспішав і вбіг у двері в останній момент. Ви звіряли свої години, оскільки вони у вас ходять не дуже точно, і купили дворазову картка тому, що рідко користуєтеся метро.

Щось подібне можна сказати і про ваш знайомого, і про машиніста поїзда, і про кожну людину, який зустрівся вам по дорозі. Навіть погода в Того дня - і та мала свою логіку і свої причини. Але в цілому переплетення причинно-наслідкових зв'язків виявилося таким химерним, що передбачити цю зустріч заздалегідь було б, мабуть, неможливо.

Мені здалося, що цей приклад допомагає зрозуміти різницю між випадковістю і хаосом. Головне в ньому не те, що ми фізично не можемо врахувати масу впливають один на одного життєвих обставин. Тоді ми розважали б себе думкою, що взагалі-то теоретично завдання вирішується, просто наш обчислювально-розумовий апарат поки що недосконалий. Ну нічого, пройде рік-два, поставимо процесор потужніший і жорсткий диск більше, навчимося вводити туди й свої довгострокові плани, і свій характер, і свої звички; додамо ті ж відомості про знайомих, врахуємо економічну ситуацію в країні, розклади громадського транспорту та прогнози погоди. Озброїмо комп'ютер всіма необхідними даними, і тоді можна буде розрахувати календар раптових зустрічей на місяці вперед з точністю до десяти хвилин.

Уявіть собі: відкриваєте вранці свій щоденник, а там позначка: сьогодні ви зустрінете в метро людини, висновок зроблено на основі аналізу ваших поточних справ і таких-то даних за минулі роки ... Фантастика, але чому б не помріяти?

Так от - краще і не мріяти марно. Наука про надскладних системах (до числа яких відноситься і людське суспільство) схиляється до висновку про теоретичну неможливість точних прогнозів такого роду. Варто сказати, що дії в цьому напрямку вже робилися - наприклад, екологами, причому великими силами і на самій сучасній техніці.

В одній зі своїх статей Г. Г. Малінецкій (ІПМ РАН ім. М. В. Келдиша) згадує масштабний американський проект "Біосфера", коли спроба "скласти мозаїку" з великої кількості відомих даних привела до результатів, "що не допускає будь-якої розумної інтерпретації ". Можна, звичайно, пояснювати невдачі тим, що враховано-таки було не все, і аналіз міг би бути ще потужнішим, але, швидше за все, тут криється більш глибока закономірність.

Стародавні греки вважали, що світ починався з хаосу. Згідно сучасним історичним підходам, він і тепер багато в чому хаотичний. "Непередбачувана поведінка того чи іншого динамічного ряду, - йдеться, наприклад, у статті М. В.

Таранин (МФТИ), - може бути або наслідком випадку, або наслідком того, що процес описується хаотичної системою рівнянь ". При цьому зовсім не обов'язково, щоб число характеристик системи і закономірностей її житті було величезним. Навіть система з трьох рівнянь може містити хаотичний сигнал як рішення! Саме "хаотичні" системи використовуються при математичному моделюванні історичних процесів.

До речі, у наведеному мною прикладі не було доведено, що ми дійсно мали справу з хаотичною системою. Це тільки припущення, хоча і схоже на правду. Але щоб довести його строго, мені варто було б формально описати і саму систему, і нас цікавить подія в ній. Результати "перевірки на хаос" вважаються позитивними при виявленні у фазовому просторі системи так званого дивного аттрактора.

фазових ПРОСТІР - у класичній механіці і статистичної фізики - це багатовимірне простір, на осях якого відкладаються значення узагальнених координат та імпульсів всіх частинок системи; таким чином, число вимірювань фазового простору дорівнює подвоєному числа ступенів свободи системи. Стан системи зображується точкою у фазовому просторі, а зміна стану в часі - рухом точки вздовж лінії, що називається фазової траєкторією.

Мегаенциклопедія Кирила і Мефодія, www.km.ru.

Атрактор, у свою чергу, є дивним, якщо має позитивний показник Ляпунова та дробову розмірність. Показник же Ляпунова ... але тут, мабуть, мені треба зупинитися і відіслати зацікавленого читача до підручника нелінійної динаміки. Головне сказано: хаос має свої закони.

Наступним прикладом я постараюся показати ці закони в дії.

Одна з найбільш перспективних математичних моделей, які використовуються зараз істориками, розроблена професором Штутгартського університету Вольфгангом Вайдліхом на початку 90-х років. У класичній моделі Вайдліха рівнянь всього два, і вони пов'язують між собою лише дві змінні.

Взагалі-то число ступенів свободи для людського суспільства прямує до нескінченності, просто історики навчилися виділяти першорядне. Модель застосовна до розгляду економічної або політичної ситуації, яка, наприклад, адекватно описує політику президента СРСР у період перебудови.

Однак те, що ми бачимо на малюнку - не розрахунки для конкретного суспільства, а лише приклад. Це фазовий портрет модифікованої моделі Вайдліха, розглянутий групою дослідників (А. О. Короткевич, С. А. Плуготаренко і інші) під керівництвом доктора історичних наук Л. І. Бородкіна (МДУ). На цій площині у вигляді крапок видно всі моменти (фази) життя одного гіпотетичного суспільства, все, що в ньому відбувалося, відбувається і буде відбуватися, а також все, що можливо чи було можливо. Точки шикуються в фазові траєкторії -- це долі країни, шляхи її розвитку. Всі вони однаково ймовірні. Але в кожний момент часу реально здійснюється лише один.

Згідно з моделлю Вайдліха, мінлива X трактується як ступінь впливу і участі народу в демократичних процесах прийняття рішень, а мінлива Y - як ступінь сили і влади уряду (можливі й інші застосування моделі, наприклад, коли макропеременние характеризують економічну, а не політичну ситуацію). Гіпотеза авторів роботи полягала в тому, як виглядають рівняння з участю Х і Y. Ці рівняння були потім чисельно вирішені:

a (x) = exp (-k (x - s/2) ** 2) - 0,5

b (y) = exp (-k (y - s/2) ** 2) - 0,5

(Така функція має форму "гірки", вершина якої знаходиться в точці s/2, а крутизна визначається параметром k. У термінах моделі Вайдліха це "функції впливу" X на Y та Y на X.)

Рішення ілюструє одну з дивовижних історичних закономірностей, відкритих останнім часом. Переломні моменти історії не обов'язково збігаються з такими гучними подіями, як війни, революції та великі відкриття. Момент, коли суспільство стоїть перед вибором, може бути і зовсім ніким не помічений, тим більше ніхто не дізнається про можливості, надавалися колись і безповоротно втрачені.

Ми бачимо в центрі площині точку (мовою нелінійної динаміки -- аттрактор), куди фазові траєкторії як би спрямовуються з метою закінчитися в ній. Всі похідні за часом в цій точці дорівнюють нулю; іншими словами, якщо значення змінних якимось чином досягли X (S), Y (S), то ні в якій доступній для огляду перспективі вони вже практично мінятися не будуть. При будь-якому трохи зміниться, X або Y система, потрапивши на будь-яку з найближчих фазових траєкторій, скоро, плавно і безболісно повернеться в початковий стан.

Це і є та сама стабільність, яка в усі часи вважалася першою ознакою процвітання. Які її характеристики? Параметр Y в точці А досить великий, значить, уряд сильне. Але велика і значення X, що говорить про демократичному режимі. Словом, точку А можна назвати сприятливою в усіх відношеннях.

Але на тій же фазової площини є і ще один аттрактор: при наближенні до лівого нижнього кута до значень X = 0, Y = 0 "лінії життя ", втягуються в нього точно у вир. Що це за точка? Анархія, повний розпад що втратив силу держави і беззахисність народу, також не що має впливу. Причому така ситуація знову-таки триватиме необмежено довго, адже при всякій спробі вибратися з неї шляхом зміни X або Y суспільство буде відкинуто назад, на вихідні позиції. Чи варто говорити, наскільки ця точка небажана! Але країна неминуче потрапить до неї, якщо виявиться на одному з провідних туди шляхів.

Придивившись уважніше, ми побачимо сепаратрісу, що розділяє області притягання точки А і точки 0. На малюнку вона позначена літерами CD. Ця лінія - слизький шлях. На ньому не можна втриматися довго: всі "випадковий" зміна X або Y неодмінно виштовхне нас вище сепаратріси, звідки всі шляхи так чи інакше захоплюються в точку А, або нижче, звідки ми рано чи пізно потрапимо в точку 0. Ось він, момент, в який певні урядові заходи можуть стати найважливішим історичною подією! У масштабах всій площині політичний ривок, свідомо зроблений народом і урядом, може бути зовсім невеликим. Але якщо він дозволить втекти від сепаратріси, то це визначить долю країни на довгі роки вперед.

Як було б все просто, якби ми такий же точний графік для реальної життя! Але мова йде всього лише про моделі. Інформація про сучасне суспільство надлишкова і не завжди достовірна; статистика і особливо соціологічні опитування давно відомі як спосіб елегантно і переконливо сказати неправду. У результаті не стільки розрахунок, скільки інтуїція допомагає вгадати вигляд залежностей, які керують рухом суспільства. До того ж у розглянутому прикладі вважалося, що фазовий портрет системи не змінюється з часом. Але в житті це не так. Під дією різних обставин може змінитися і сам вид функцій впливу, і, тим більше, чисельні значення їх параметрів (в розглянутому прикладі - k і s). В останньому випадку точки-атрактори зазвичай залишаються на місці, а от області їх тяжіння можуть звузитися або розширитися, сепаратріси - зміститися. Цим явищем можна пояснити, чому прийняте вчора грамотне рішення політиків вже сьогодні виявляється безглуздим або шкідливим. Шлях, упевнено вів до процвітання, через якийсь час виявляється тупиковим.

Може бути, недалеко час, коли уряд і народ отримають з рук вчених реальне керівництво до дії? І стара приказка буде звучати так: "Нема чого на фазовий портрет пенять, коли система крива".

На думку Г. Г. Малінецкого, ми присутні при зародженні нової наукової дисципліни - теоретичної історії. Виникла в тісному зв'язку з історичної інформатикою, теоретична історія є більш глибоким і широким поняттям. Можливо, традиційна історична наука стане сприйматися істориками майбутнього приблизно так само, як середньовічна фізика -- фізиками сучасності.

На закінчення приведу робоче визначення теоретичної історії, запропоноване вищезазначеним автором. Воно звучить так: "під теоретичної історією будемо розуміти міждисциплінарний підхід, що дозволяє досліджувати і описувати причинно-наслідкові зв'язки, що визначають поведінку і поле шляхів розвитку великих соціальних груп на характерних часи від 10 до 1000 років і Предсказательная що володіє силою ".

Список літератури

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.crealab.org/