Еволюція концепції докази

Подорожній, поквапся: за поворотом дороги здійсняться всі твої бажання!

Плакат на дорозі до замку людожера

Загальновідомий

Доказ - міркування з метою обгрунтування істинності деякого твердження. Доказ асоціюється з математикою, а школярі пов'язують його перед усім з геометрією.

Поправді чи доведене твердження? - Звичайно, що за питання ...

Арифметика без доказів

Рахунок і запис результатів

Нам все, що більше трьох, потрібно порахувати: предмети або звуки. Безпосереднє, без тренування, просторове і тимчасове розпізнавання числа об'єктів простягається не далі 4 або 5. Це вроджена властивість: "Нейрон" зображення чисел від 1 до 3 в "одиничною" системі числення (вертикальними чи горизонтальними рисками) збігається практично в усіх культурах, відмінності у зображенні чисел починаються з числа 4.

нейронного запасу людині виявилося мало, і він поповнив його. Спочатку з'явився рахунок із застосуванням стандартних лічильних предметів: пальців, камінчиків або раковин. Потім стали вживати знаки: вузлики, риски, зарубки. Для вже звичних груп лічильних знаків виникли знаки мови - числівники. Зберігся рудимент цієї епохи в китайській мові у вигляді різних лічильних слів, обов'язкових за рахунку об'єктів певної природи - круглих, плоских, воєн і революцій і т.п.

Римляни наділи камінці (calculus - звідси калькулятор) на стрижні - Вийшли рахунки. Рахунок неявно ввели позиційну систему числення. Нуль в цій системі не вимагав зображення і не міг його мати. Для запису результатів рахунку потрібні були кошти писемності - ієрогліфи та літери алфавіту. У Древньому Єгипті ієрогліфами записували числа до десяти мільйонів.

Греки використовували для запису результатів астрономічних обчислень змішану систему: для цілої частини - власну десяткову алфавітну непозиційної, для дробової частини - 60-річної вавілонську позиційну. Письмові операції над такими числами було нелегкою справою.

десяткову систему з нулем винайшли в Індії (VI століття); її запозичили араби, а в арабів - європейці, які до того користувалися римськими цифрами. Арабські цифри і десяткові дроби були відкриті європейцями вже після того, як вони відкрили Америку. Операції над цифровими символами на папері тепер значно легше, але і до цих пір важкі, а з появою калькуляторів стали хіба лише непопулярним інтелектуальним спортом.

Хто може сьогодні витягти квадратний корінь без калькулятора?

Звідки взялася 60-річної системі числення?

Зображення чисел і засоби виконання операцій над числами дають працюючу мовну модель - теорію. Зрозуміло, шість тисяч років тому наші предки були "зайняті справою", а не "теоріями". Тим не менше, вони створили арифметику - теорію, що виявилася більш ефективним інструментом, ніж вроджена нейронна модель рахунку. Арифметика - квант надбіологіческой еволюції, елемент культури.

Формула

Теорія може працювати не тільки прямо, вона може забезпечувати і "зворотний хід". Наприклад, дослідження рівняння a + x = b. Різниця b - a стає рішенням рівняння.

Найважливішим внеском у математичну науку і практику стала формула - Точне формальне припис, що визначає перетворення одного мовного об'єкта в інший.

Формулу оголошували і іноді пояснювали; про доведення не було і мови. Для геометричних формул приводили що пояснює креслення (іноді з написом "Дивись !").

Формула може бути словесною, геометричної, знаковою. Типовий приклад - теж формула. Формула досі панує в школі і в житті і для багатьох є вершиною абстракції.

Перехід до формул - квант еволюції. Формули перетворили проблеми в завдання, а завдання в вправи (для знаючих людей). Кількість розв'язуваних і вирішених арифметичних завдань - об'єктів попереднього рівня - стало стрімко збільшуватися, а діяльність на цьому рівні стала рутинної. Соціальний престиж розв'язувача завдань знизився, але зате їх кількість зросла. Умільці, що вирішували завдання "доформульнимі" коштами, швидко "вимирали". Винахідники формул залишалися в меншості, але в виграші.

Такі властивості будь-якого квантового переходу.

Формула, звичайно, існує не сама по собі, а тільки в деякій теоретичному і практичному контексті і далі аж до культурного контексту. Не завжди нова формула, особливо що спирається на нові поняття, відразу й успішно витісняє старі підходи і навички та їх власників.

Бухгалтерський облік з його концепціями дебету і кредиту, з проводками і з подвійною записом - живучий плід винахідливості тих, хто так і не зміг освоїти поняття від'ємного числа (червоне сальдо).

Доказ

Греки перенесли способи переконання з полісної, цивільної практики в науку. Доказ на міській площі було для греків реальністю життя, одним зі звичних і ефективних застосувань інтелекту.

Фалес (611-549) продемонстрував нове застосування інтелекту: доказ теорем. Фалес довів, що діаметр ділить коло на дві рівні частини; що протилежні кути при перетині двох прямих рівні; що кути при основі рівнобедреного трикутника рівні; довів ознака рівності трикутників по стороні і прилеглих до неї кутах. Він же побудував коло навколо прямокутного трикутника, вказав спосіб визначення висоти споруди за його тіні і спосіб визначення відстані до недоступного предмета (корабля в морі).

Навіщо Фалес серед інших доводив очевидні твердження? - Не для того, щоб переконати будь-кого у їх справедливості, а для того, щоб розробити і продемонструвати нову технологію мислення.

Винахід докази - квант еволюції. Фалес відкрив новий горизонт, золоту жилу. Доказ - це спосіб виробництва формул. Кількість формул - об'єктів попереднього рівня - стало швидко зростати, а витрати на народження формули зменшилися. Як завжди, разом з новим полем діяльності виникла нова каста - каста людей, що вміють формулювати і доводити теореми.

У доказах геометричних теорем з'явилися аксіоми. Аксіоми геометрії спираються на фундаментальні поняття порядку, рухи, тотожності, безперервності. Застосування аксіом передбачає використання процедур логічного висновку. Логічний висновок являє собою послідовність тверджень, які виведені з аксіом і/або з раніше виведених тверджень. Аксіоми і тільки вони приймаються без висновку, тобто без доведення.

малограмотна формулювання: "Аксіома не вимагає докази ".

Логічний висновок доставив можливість отримання з достовірних знань нових достовірних знань.

Аксіоми (спочатку) - це моделі, інваріантні щодо асоціацій (ігри уяви); конструкції, що мають опору в нейронних поняттях нижче того горизонту, який схильний до роботи уяви з доступними йому конструктивами. Аксіома - не результат, а форма пізнання дійсності, -- модель, вироблена в процесі еволюції.

Виникнення концепції докази перетворив все життя західного людства, давши його мислячої частини інструмент для захисту від апеляції до очевидності. Концепція докази була і буде бар'єром, відокремлює Homo profanus від Homo argumentorum. Цей бар'єр не можуть подолати обидві сторони. І це добре, іноді для обох сторін.

Доказ зайняло місце формули на вершині еволюційного дерева розумової діяльності. Дедуктивний метод став докором і мрією для гуманітаріїв, недарма Спіноза побудував свою "Етику" за зразком "Начал" Евкліда. Дух Евкліда - це дух школи Платона, його теорії ідей.

Грецька математика

Греки діяли в жорстких ідеологічних рамках: вони шукали в Світ втілення досконалих ідей, будували світ з правильних многокутників і багатогранників, правильних відносин музичної гами, закономірностей чисел. Піфагорійська містика досконалих чисел і фігур зробила і робить потужне вплив на науку. Піфагореїзм настільки пронизує нашу (західну) культуру в цілому, що ми його не помічаємо і не знаємо, що "говоримо прозою" за Піфагором.

Греки вважали, що твердження математики абсолютно точні і достовірні, тоді як дані досвідченого знання приблизні, оманливі та недостовірні: навіть рівність двох відрізків може бути доведено не виміром, а міркуванням. "Наближеними обчисленнями соромно займатися вільному людині, вони - доля раба ".

"При допомоги математики очищається і отримує нову життєву силу орган душі, в той час як інші заняття знищують його і позбавляють здатності бачити, тоді як він значно більш цінний, ніж тисяча очей, тому що тільки їм одним може бути виявлена істина ". Платон

Греки використовували в доказах тільки геометрично наочні засоби, а не літерні символи. Вражаюче, що в рамках так важкою геометричної алгебри їм вдалося отримати так багато результатів. У Новий час Ньютон слідував грецькій традиції, а Лейбніц - ні.

Математичний мова

Величини в геометрії відрізняли від чисел в арифметиці: величини іменували довжинами, квадратами і кубами і використовували як іменовані. Алгебраїчна буквена символіка виникла в арифметичній алгебри з стандартних (і скорочених) словесних позначень. Мови геометрії та арифметичної алгебри існували паралельно.

Декарт (1596 - 1650) побудував над мовами геометричної і арифметичної алгебри нову мову - алгебраїчний. Синтаксис нової мови схожий на синтаксис мови арифметичної алгебри, семантика - на семантику мови геометричної алгебри.

Декарт перетворив процес в об'єкт: відношення величин (процес) стало раціональним або ірраціональним числом (об'єктом). Тим самим Декарт здійснив квантовий еволюційний перехід до абстрактного поняття числа, перехід, який виявився не під силу грекам. Введене Декартом поняття числа було мовним конструктом, а не просторовим чином. Декарт принципово змінив зміст докази: відтепер геометричним образів залишилася роль ілюстрацій, вони перестали бути засобами докази.

буквена символіка відкрила вхід в математику поверх бар'єрів геометричної алгебри і словесних позначень. Друкарство остаточно зробило математику доступною всій масі освічених людей. Стали звичайною справою публічні змагання в доказах.

Через півстоліття завдяки Декарту Лейбніц і Ньютон скоїли наступний квантовий перехід.

Математичне доказ у Новий час

Ньютон вивів закони Кеплера з закону всесвітнього тяжіння й трьох законів руху. Доведення привело до відкриття закону природи. Ньютон користувався геометричним мовою, і позначення його "Почав" не вплинули на математичну технологію. Запропоновані Лейбніцем ефективні позначення відкрили поле діяльності, на якому за триста років було доведено неймовірну кількість теорем у створених на основі нових понять похідної та інтеграла численних нових галузях математики.

Ні батьки-засновники, ні їх послідовники не могли обгрунтувати свої результати, виправдовували їх тільки принесеної ними удачею. Вакханалія використання нечітких понять і методів приводила до невірних результатів, спорах і сумнівам. Видатним джерелом неприємностей була теорія межами з її вільним поводженням з нескінченністю. Блискуче висловився про нову математики Вольтер: "Мистецтво вважати і точно вимірювати те, існування чого незбагненно для розуму ". Всі спроби вийти з положення, навіть початі Ейлером і Лагранжа, зазнали повну невдачу. Внутрішня дисципліна в математики до середини XIX століття впала настільки, що Келі, привівши формулювання теореми для квадратних матриць і перевіривши її для матриць 2х2, не вважав "необхідним обтяжувати себе формальним доказом теореми в загальному матриці разі будь-якого порядку "і закликав просто повірити йому.

Труднощі коренилися в тому, що нові поняття знаходилися на більш високому рівні абстракції. Грекам було легше, їх поняття були ближче до (погордженого!) досвіду, а ті поняття, які доставили стільки хвилювань в Новий час, хитромудрі греки обходили. Нові поняття були вже не узагальненням досвіду, а створенням розуму, позбавленим звичної опори в наочності. Мова формул володів не лише привабливою, але й продуктивною силою.

Героїчна епоха! Не до строгості, коли друзі і недруги рвуться вперед.

Тільки до кінця XIX століття в математичному аналізі і в алгебрі був наведено формальний логічний порядок, іншими словами, становище було виправлено настільки, що стала можливою подальша критика.

Аксіоматичний метод

Формалізація математики привела до уточнення визначень і аксіом, до логічної інвентаризації знарядь математичного майстерності. Одним із завдань у наведенні порядку було завдання мінімізації списку аксіом, виключення з нього тих тверджень, які могли бути виведені з інших як теореми.

Спроба цим шляхом виключити з аксіом геометрії Евкліда аксіому про паралельні не вдалася. Тоді спробували довести, що заміна цієї аксіоми її запереченням призведе до тому, що в такій "неевклідової" геометрії будуть отримані протиріччя, що й "доведе" аксіому Евкліда. Протиріччя отримати не вдалося, більше того, сімейство неевклідових геометрій стало поповнюватися. Неевклидова геометрії суперечили тільки повсякденною інтуїції і звичним наочним уявленням, але були логічно бездоганні. Водночас з'ясувалося, нарешті, що аксіома про паралельні не залежить від інших аксіом Евкліда.

Гільберт запропонував що став загальноприйнятим варіант аксіоматичної побудови евклідової, а заодно і всіх інших геометрій. Цей успіх ще раз нагадав про проблему істинності теорії в цілому: якщо існують різні геометрії і вони несуперечливі, то яка ж з них "істинна"? Яка з них має місце в реальній дійсності і як це довести? І що означає "справжня геометрія"? "Що є істина?"

Впевненість у тому, що математика містить тільки абсолютні істини, абсолютно доведені на основі абсолютних аксіом, була підірвана назавжди. В обстановці замішання, викликаних появою неевклідових геометрій, концепції докази вдалося залишитися поза підозрою.

Нові проблеми

Теорія нескінченних множин до початку ХХ століття стала джерелом занепокоєння: в ній виявилися труднощі і суперечності. Цього разу під ударом виявилися не вилучили у визначеннях і доказах, а логіка доказів. Як випливає розуміти твердження про існування будь-якого математичного об'єкта? У конструктивних докази існування наводиться процес побудови об'єкта, але є затвердження "повинен існувати", "помилково, що не існує ", - як з ними бути?

Чи можна застосовувати логіку доказів, вироблену на кінцевих об'єктах, до нескінченним?

Щодо аксіоматичної теорії залишилися невирішеними питання:

чи можна довести деяке твердження А і довести його заперечення?

і як довести, що цього не трапиться, то є як довести, що теорія несуперечливо?

всяке чи істинне твердження можна вивести з аксіом?

і як довести, що це завжди можливо, то є що теорія повна?

чи можна у рамках аксіоматичної теорії вважати доведене істинним?

У ході досліджень підстав математики в рамках математичної логіки виник розділ, що вивчає формалізовані математичні теорії. Відбувся ще один квантовий перехід: з'явилася метаматематиці. Цей термін синонімічний терміну "теорія доказів". Логіка і математика стали предметом вивчення для метаматематиці.

Лінія Евклід - Лейбніц - Гільберт - Гедель

Сучасний формалізований (мета) математичний мова оформлений у "Principia Mathematica" Расселом і Уайтхед вже на початку XX століття. Вони уточнили поняття доказу як виведення в деякому численні, проте запропонований підхід до проблеми несуперечності не задовольнив навіть авторів.

Гільберт (1862-1943) висунув грандіозну програму аксіоматизації математики і фізики і приступив до її реалізації. Гільберт вважав, що будь-яке точно сформульоване твердження можна довести або спростувати засобами аксіоматичної теорії за умови, що теорія несуперечливо. Іншими словами, Гільберт сформулював тезу повноти аксіоматично?? й теорії. Що стосується несуперечності, то цю проблему теж, здавалося, можна буде вирішити. Лінія Евклід - Лейбніц - Гільберт обіцяла тріумфальний успіх:

аксіоми дадуть колективне визначення вживаним в їх формулюваннях невизначені поняттями;

системи об'єктів, що задовольняють одній і тій же системі аксіом (інтерпретації), ізоморфні, так що теорема, доведена в одній інтерпретації, буде автоматично справедлива для іншої.

"За допомогою цього нового обгрунтування математики, яке справедливо можна іменувати теорією докази, я переслідую важливу мету: саме, я хотів би остаточно розправитися з питаннями обгрунтування математики як такими, перетворивши кожне математичне висловлювання в піддається конкретному показу і строго виведену формулу і тим самим привівши освіта понять і висновки, якими користується математика, до такого викладу, при якому вони були б незаперечні і все ж таки давали б картину всієї науки ".

Давид Гільберт

Гільберт довів, що евклідового геометрія несуперечливою, якщо несуперечливо система дійсних чисел. Залишилося зовсім небагато: довести несуперечність арифметики.

Теорема Геделя

Курт Гедель (1906 - 1978) у 1931 році в роботі "Про формально нерозв'язних проблем "Principia Mathematica" і споріднених систем "довів теорему про те, що будь-яка несуперечлива аксіоматична система, що включає аксіоми арифметики натуральних чисел, має властивість неповноти: для неї можна вказати конкретне твердження А, для якого в цій системі не можна довести ні А, ні його заперечення. Це твердження знаходиться за межами системи! І для неповноти будь-якої математичної теорії досить включення в неї найпростішого об'єкта математики - натурального числа.

Гедель довів повноту числення предикатів першого ступеня.

В іншій теоремі Гедель доводить, що в якості А можна взяти твердження про несуперечності арифметики. Несуперечність теорії не може бути доведена засобами самої теорії.

Теореми інженера Геделя розвіяли мрії математика Гільберта.

"Роль горезвісних "підстав" можна порівняти з тією функцією, що у фізичних теоріях виконують пояснюють що-небудь гіпотези ... Так звані логічні або теоретико-множинні підстави теорії чисел, або будь-який інший цілком сформувалася математичної теорії по суті пояснюють, а не обгрунтовують їх, так само, як у фізиці, де істинне призначення аксіом полягає в поясненні явищ, які описуються фізичними теоремами, а не в обгрунтуванні цих теорем. "

Епістемологічні слідства

Одна несуперечлива теорія не може повністю описати реальність; завжди залишаються факти або аспекти, які вимагають звернення до іншої теорії, можливо, несумісною з перших. Концепція "істинність збігається з доказовістю "зазнала краху.

"Автоматизація" знання неможлива. Не можна обійтися без людського розуму та інтуїції, приречена на невдачу. Логіка невіддільна від людини.

несуперечність математики не може бути доведена.

Математика стала експериментальною наукою.

Конструктивізм

Павуки, що жили в замку, затягли підвал павутиною. Коли одного разу вітер

зірвав її, вони кинулися її відновлювати: адже замок тримається на павутині!

У рамках метаматематиці є різні течії. Одним з них є конструктивна математика, що працює з конструктивними об'єктами і конструктивними процесами і що відкидає в цих побудовах закон виключеного третій через його неконструктивності.

Конструктивний аналіз істотно відрізняється від класичного аналізу, що становить зміст курсу вищої математики. Багато теореми класичного аналізу не входять в конструктивний аналіз. Особливу увагу конструктивізм приділяє вивченню алгоритмічно нерозв'язних проблем.

Нашестя теорій

Теорема Геделя надала можливість побудови нескінченного дерева теорій за рахунок поповнення списків аксіом невиведені істинними твердженнями.

Теорема Левенгейма - Сколема виявила, що для породження нееквівалентний теорій не потрібно розширення списку аксіом: існують неізоморфние інтерпретації однієї й тієї ж системи аксіом, в тому числі аксіом арифметики.

Якщо в XIX столітті ми зіткнулися з кількома геометрія, то в ХХ столітті ми опинилися вже перед кількома математиками.

Доказ сьогодні

Теорема про можливість розфарбування вершин плоского графа чотирма фарбами доведена в 1977 році програмою, що обчислюється доказ протягом багатьох сотень годин. Пізніші програми на новітніх комп'ютерах "доводять" швидше.

Проблема розуміння

Формалізована мова на відміну від повсякденної мови виконує не комунікативну, а модельну функцію. Саме тому приречені на неуспіх будь-які спроби "зрозуміти" текст на формалізованому науковому мовою шляхом "перекладу" на буденний - конкретний - мова. Джерелом таких невдач є не "перекладається" текст, а неуцтво "перекладача".

Мовна модель стає частиною світу людини і тим самим -- об'єктом вивчення, вивчення за допомогою нової мови, що виступає по відношенню до вивчається мови як метамова. Так виникає сходи мов, ієрархічна система формалізованих мов.

Лейбніц все життя розробляв універсальну характеристику -- числення, яке дозволило б точно висловити будь-яку ясну думку і замінити суперечка про істинність твердження обчисленням функції істинності, звести логіку до обчислення.

Резюме

В атмосфері культу сили та насильства стародавні греки винайшли Олімпійські ігри, логіку, риторику, філософію. Греки залишили нам:

саму лицемірну форму політичного насильства - демократію,

самі витончені форми емоційного насильства - поезію, музику і театр,

вищу форму інтелектуального насильства - математику.

Сучасна освіта - у владі аксіоматичної диктатури Евкліда та комп'ютерного шаманізму. Математика - найефективніша зброя масового ураження інтелекту та дедуктивного терору. За іронією долі на древо пізнання саме на математичній гілки дозріло отруйна геделево яблуко неповноти. Греки зробили свою справу, а ми не можемо піти.

Катастрофа людського прагнення досягти всеосяжного досконалості в доказі - одне з багатьох аварій людських сподівань. Досить нагадати про надії на справедливість, рівноправність, на гармонію особистості і суспільства, людини і природи.

Список літератури

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://www.crealab.org/