Апологія
Нескінченності.
Станішевський
Олег Борисович
Дослідження нескінченності
ніколи не закінчиться. пізнання нескінченності не є процес безперервного
накопичення знань про неї, це, скоріше, поетапний безперервно-історичний процес.
На кожному етапі її пізнання розкриваються все нові і нові її боку.
Нескінченність є фундаментальною гносеологічної і онтологічної
константою. Першим знанням про неї був апейрон Анаксимандра (VI ст. До н.е.),
означав нескінченне суще. Представник пізнього піфагореїзму Архит
Тарентський (IV ст. До н.е.) так доводив безмежність всесвіту:
"Помістив на самому краю Всесвіту ... був би я в змозі протягнути
свою руку або палицю далі за межі цього краю чи ні? "[1, с. 240].
Арістотель, як відомо, заперечував актуальну нескінченність. Він і ввів поняття
актуальної і потенційної нескінченності. Правда, логічно не зовсім ясно --
як можна говорити про потенційну нескінченності при відсутності нескінченності
як такої, тобто актуальної нескінченності. Потім християнство вважало,
що воно вирішило проблему нескінченності, надавши її як невід'ємного
атрибуту Бога. потім математика в особі диференціального й інтегрального
обчислення взяла нескінченність на своє озброєння. Оскільки нескінченність НЕ
мала суворого і чіткого визначення, то в математиці почали з'являтися
пов'язані з нею протиріччя. Так, наприклад, нескінченні ряди в математиці розділили
на сходяться і розходяться, було також узаконено положення про те, що лінії
складаються з точок, площини - з прямих і т.д. До Георга Кантора нічого
принципово нового в розумінні нескінченності не було. Заслугою Кантора як
раз і є відкриття їм нескінченної ієрархії АЛЕФ (Алеф - це нескінченні
кардинальні числа, або потужності нескінченних множин). Ним була створена теорія
нескінченних множин. Цілком закономірним було те, що в ній почали
виявлятися суперечності. Найвідомішими з них є парадокси
Рассела. Про парадокси і протиріччя існує досить обширна
література. Їх дослідженню присвячені, наприклад, роботи [2], [3], [4], [5].
Однак протиріччя і парадокси в них не вирішуються, а обговорюються. Правда,
Бурова в [4] справедливо підкреслює, що пряма не складається з точок,
площину не складається з прямих, а те, що в математиці вважається, що пряма
складається з точок, є помилкою. Одним словом, протиріччя і парадокси
в теорії нескінченних множин зберігаються і понині. За не менш ніж столітню
існування теорії (а точніше - теорій) нескінченних множин у розумінні
нескінченності мало що змінилося. Навіть поява нестандартного аналізу (див про
ньому в [6]) не вніс повної ясності у розуміння нескінченності. Але незважаючи на
протиріччя, математика не збирається відмовлятися від "канторовского
раю ", тобто від теорії нескінченних множин (про нескінченне і проблеми
нескінченності в доступному викладі див. книжки: "У пошуках
нескінченно "," Оповідання про множинах "- автор Н. Я. Віленкін;
"Невичерпність нескінченності" - автор Ф.Ю. Зигель; "Гра з
нескінченністю "- автор угорська математик Р. Петер).
Останнім часом з'явилися
публікації, спрямовані на повалення теорії нескінченних множин і
негативно оцінюють самого Г. Кантора і його вчення. Ці антіканторовскіе
виступу не безпідставні і носять досить рішучий і безкомпромісний
характер. Ми тут покажемо неспроможність подібної антіканторовской
тенденції.
Мова йде про публікації та
виступах А.А. Зенкина [7], [8], [9]. Ось як він оцінює свій результат
[8, с. 167]: "Таким чином, вперше доведено велике інтуїтивне
провидіння (і застереження!) Арістотеля, Лейбніца, Локка, Декарта, Спінози,
Канта, Гауса, Коші, Кронекера, Ерміта, Пуанкаре, Брауера, Вітгенштейна, Вейля,
Лузіна та багатьох інших видатних математиків і філософів про те, що
"актуальна нескінченність" є внутрішньо суперечливим поняттям
і тому його використання в математиці - неприпустимо ". вчення Кантора
оголошується шкідливим (там же): «саме теорема II Кантора завжди була і залишається
сьогодні єдиним (!) підставою для, справді, вавілонського стовпотворіння
незчисленних ордіналов і недосяжних кардиналів сучасної метаматематиці:
приберіть теорему II Кантора, і весь цей блискучий супертрансфінітний
"вавилон" розсиплеться одноразово, оскільки самий розмова про
існування нескінченних множин, що розрізняються за своєю потужністю, буде у
цьому випадку виглядати всього лише "трансфінітной претензією на порожнє
глибокодумність "» і "цікавим патологічним казусом в історії
математики, від якого прийдешні покоління прийдуть в жах ". подібних місць з
негативною оцінкою Кантора і його вчення в цих статтях вельми достатньо.
На чому грунтується така
негативна оцінка теорії нескінченних множин? Грунтується вона на
неможливість довести діагональним методом, та й усіма іншими методами,
існування нескінченних множин, потужність яких суворо більше потужності
початкового нескінченної кількості, або коротко - відношення "2M> M"
для нескінченної кількості M. Сутність цієї неможливості полягає в
наступному. За передбачуваному перерахунку нового безлічі 2M будують
новий, "діагональний", елемент, який жодним чином не може
утримуватися в передбачуваному перерахунку. Кантор і всі його послідовники (у їхньому
числі й наші відомі математики П.С. Александров, А.А. Мальцев) з цього
роблять висновок, що нове безліч не можна перерахувати за допомогою вихідної безлічі
M, яким, наприклад, може бути безліч натуральних чисел. Проте вся
відома теорія нескінченних множин грунтується на аксіомі нескінченності
Дедекінда: "безліч є нескінченним, якщо і тільки якщо воно має
власне підмножина, до якого взаємно однозначно відображається дане
безліч "[10, Т.1, с. 455]. тому, додаючи до будь-якого нескінченного
безлічі один новий елемент, ми нічого не змінюємо - потужність даної множини
не зміниться. Отже, діагональний метод не повинен закінчуватися
виявленням елемента, що не входить у передбачуваний перерахунок безлічі 2M,
а повинен бути продовжений включенням "діагонального" елемента в
передбачуваний перерахунок і відповідно отриманням нового передбачуваного
перерахунку, який вже буде містити і цей "діагональний" елемент.
Але потім може бути отриманий наступний "діагональний" елемент і ця
процедура може тривати нескінченно, що й означає неможливість довести
незліченну безлічі 2M. Це, у свою чергу, означає не що інше,
як неможливість побудови канторовской ієрархії алеф, з чого Зенкин і
укладає про неспроможність нескінченності і канторовской теорії множин.
Але з таким висновком не можна
погодитися з двох причин. По-перше, заперечення нескінченності і канторовской
теорії множин є просто-напросто крайній агностицизм. Якщо погодитися з
такою точкою зору, то із математики треба буде викинути багато найцікавіші
і найважливіші розділи. Втратимо, якщо можна так сказати, нескінченно багато, а
знайдемо дуже мало. По-друге, концептуальні суперечності з теорії
множин можна усунути [11]. Ми тут коротко зупинимося на усуненні тільки
тих протиріч, які мають відношення до розглядуваної тут протиріччя
між прийнятим в теорії множин визначенням нескінченної кількості і
діагональним методом Кантора.
Протиріччя теорії множин
чомусь прийнято називати парадоксами. Напевно, з легкої руки Б. Рассела. І
ще тому, напевно, що парадокси відносять до чогось непізнаного і прихованого і
тому їх існування в теоріях вважають природним. Але, врешті-решт,
парадокси і протиріччя повинні бути дозволені і усунені з теорії. Оскільки
ми тут захищаємо право нескінченності на її існування, то і ми розберемо
тут тільки два концептуальних суперечності, які мають безпосереднє
ставлення до цього питання, хоча, звичайно, концептуальних суперечностей у теорії
множин значно більше. Перше з них є фундаментальним і
являє собою методологічний принцип усієї теорії нескінченних множин.
Це - принцип "частину може дорівнювати цілому". Друге концептуальне
протиріччя полягає у фактичній відсутності визначення початкової
актуальної нескінченності. Розглянемо ці протиріччя по порядку.
На принципі "частина може
дорівнювати цілому "як на непорушним фундаменті покоїться аксіома
нескінченності Дедекінда, еквівалентна іншим визначенням нескінченності
(наприклад, у книзі П. С. Александрова [12, с. 21] аксіома Дедекінда доводиться
як теорема). Наведемо лише деякі з тих протиріч теорії множин, які
породжуються цим принципом. Одним з відомих парадоксів є парадокс з
розбіжними рядами. Наприклад, знакочередующійся ряд S = 1-1 +1-1 + ... в
залежно від угруповання його членів може мати будь-яке значення суми S від
0, ± 1, ± 2, ... до ±
