Ефекти
кінцевої розрядності і їх облік
А. Т. Бізін
Сибірська
Державна Академія телекомунікацій та інформатики
Новосибірськ
1998
Шум
квантування і шумова модель
Відлік сигналу
на вході цифрової системи квантів до найближчого з дозволених рівнів.
Відстані між суміжними рівнями одно кроку квантування D. Крок квантування і розрядність кодових
слів пов'язані співвідношенням
D = 2-b (4.1)
де b --
розрядність кодових слів.
Значення
молодшого розряду кодових слів чисельно дорівнює кроку квантування.
Різниця
справжнього і квантованими числа називається помилкою квантування. Помилка
квантування е (n) визначається нерівностями:
- при округлення чисел,
- при усіканні чисел.
(4.2)
На виході
цифрової системи помилки квантування сприймаються у вигляді шуму, що
називається шумом квантування.
Цифрові
помножувачі нарівні з АЦП є джерелами шуму квантування; на виході
помножувач довжину кодових слів доводиться обмежувати, тому що розрядність
результату множення кодових слів зростає і дорівнює сумі розрядність
множимо і множника.
Розрахунок рівня
шуму квантування здійснюється за шумовий моделі, яка відрізняється від
вихідної ланцюга наявністю джерел шуму квантування на виході АЦП і кожного з
помножувач.
На Рис. 4.1, а
наведена як приклад шумова модель цифрового ланцюга, схема якої
показана на Рис. 4.1, б. Розташування для джерел шуму:
e0 (n)
- Джерело шуму від АЦП
ei (n)
- Джерело шуму від кожного з Z множників.
Розрахунок шумів
квантування
Рівень шуму
квантування можна оцінити, наприклад, за величиною максимуму шуму, тобто оцінка
шуму за умовою найгіршого випадку, або за величиною усередненої енергії шуму,
тобто ймовірна оцінка шуму.
Розрахунок
максимуму шуму
Шум квантування
на виході ланцюга від i-го джерела шуму визначається за формулою згортки
де ei (n)
- Шум на виході i-го джерела шуму,
hi
(n) - імпульсна характеристика ділянки ланцюга від i-го джерела шуму до виходу
ланцюга.
Максимум шуму Еi
виходить в цьому виразі за умови виконання рівностей у формулах (4.2) і
збігу знаків ei (k) і hi (nk). У результаті
- при округленні
чисел,
- при усіканні чисел.
Максимум шуму
на виході ланцюга Е від усіх джерел шуму визначається сумою максимумів, тобто
найгірший випадок, від усіх джерел шуму
(4.3)
де D0/2 - максимум шуму на виході
АЦП при округлення чисел,
D/2 - максимум шуму на виході кожного з Z
помножувач при округлення чисел або умови однакової розрядності всіх
помножувач.
Оцінка шуму по
максимуму призводить до значного перевищення розрахункового рівня шуму по
відношенню до реального. Тому частіше застосовується ймовірна оцінка шуму.
Розрахунок
усередненої енергії шуму
Шум квантування
має характер випадкової послідовності типу "білий шум". Тому
дисперсія шуму на виході ланцюга згідно (2.24), (2.25) визначається формулою
,
де - дисперсія шуму на виході i-го джерела шуму. З огляду на
характер шуму, дисперсія шуму на виході джерела буде визначатися відомими
формулами:
- при округлення чисел
- при усіканні чисел
(4.4)
Отже,
при округлення чисел
Дисперсія шуму
від усіх джерел на виході ланцюга, за умови відсутності кореляції між
джерелами шуму, визначається сумою дисперсій шуму від усіх джерел
(4.5)
де - дисперсія шуму на виході АЦП при округлення чисел.
- дисперсія шуму на виході кожного з Z множників при
округлення чисел.
Імовірнісна
оцінка шуму характеризує усереднений рівень енергії шуму, тому в реальних
умов не виключені короткочасні стрибки перешкоди щодо розрахункового
значення.
Вплив
структури ЦФ на шум квантування
Рівень шуму
квантування залежить від добротності полюсів передавальної функції. Добротність
К-ого полюса визначається за формулою
(4.6)
де rk
- Радіус полюса, Zk = (Рис. 4.2, а), Qк = wкТ - кут полюса, wк - частота полюса.
Дійсно,
оскільки Z = epT, то
отже
Звідси
тому
Чим вище
добротність полюсів, тим вище рівень шумів квантування оскільки високої
добротності відповідає тривала циркуляція сигналу по ланцюгу ОС за умови
повільного зниження рівня сигналу з кожним новим обходом петлі зворотнього зв'язку.
Але ланцюг ОС містить, як правило, помножувачі, тому з кожною новою
циркуляцією по ланцюгу ОС сигнал все більше уражається перешкодою.
Реалізація ланцюга
на каскадному принципі дозволяє послабити негативний вплив полюсів на
перешкодозахищеність сигналу якщо, з одного боку, кожному полюсу підібрати в
пару найближчий до нього нуль (при збігу полюса і нуля полюси впливу на шум
повністю виключено), з іншого боку - мати у своєму розпорядженні ланки в порядку
наростання добротності полюсів.
Основою
каскадної реалізації є подання передавальної функції у вигляді
твори найпростіших співмножників в чисельнику і знаменнику
(4.7)
де Z0m
- Нулі H (Z), ZҐm - полюси H (Z).
співмножники
1-го порядку (нулі та полюси - речові) відповідають ланки 1-го порядку,
співмножники 2-го порядку (нулі та полюси - комплексно-зв'язані)
відповідають ланки 2-го порядку. При цьому добротність речових полюсів
тим вище, чим ближче до одиничною кола на площині Z розташовується полюс.
Приклад.
Побудувати ланцюг на каскадному принципі за відомою передавальної функції
H (Z) = 0,8
Рішення.
Тут = 0,1 ± 0,4, = 0,1 ± 0,3
Отже
що
відповідає схемі ланцюга на рис. 4.2, б.
Реалізація на
каскадному принципі передавальних функцій високого порядку може призвести до
значного зниження рівня шумів квантування в порівнянні з реалізацією
іншими структурами ланцюга.
Квантування
коефіцієнтів. Розрахунок розрядності
Габарити, вага і
вартість спеціалізованого процесора, призначеного для обробки сигналів,
тим менше, чим коротше кодові слова і, зокрема, кодові слова,
відповідні коефіцієнтами цифровий ланцюга. Кодові слова коефіцієнтів мають,
в загальному випадку, нескінченну розрядність, тому розрядність доводиться
обмежувати в межах допусків на відхилення від норми системних
характеристик.
спецпроцесора
функціонує в системі чисел з фіксованою комою. У цьому випадку дробова
частина кодових слів визначає модуль числа, ціла частина - знак числа: знаку
плюс відповідає нуль, знаку мінус - одиниця. Переклад чисел з десяткової
системи в двійкову зручно виконати у формі таблиці, в якій перша клітина
відводиться вихідного числа, інші клітини - результату множення на два
дробової частини попереднього числа. Ціла частина числа в основних клітинах
визначає дробову частина двійкового числа.
Приклад. Дано
десяткове число А (10) = 0,32.
Визначити
прямий код двійкового числа А (2), якщо розрядність двійкового числа
прийняти рівною 8.
Рішення
Заповнимо
таблицю проміжних розрахунків.
0,32
2
0,64
2
1,28
2
0,56
2
1,12
2
0,24
2
0,48
2
0,96
2
1,92
2
1,84
Звідси двійкове
число А (2) = 0,010100011
Останній --
дев'ятий - розряд необхідний для округлення.
Остаточний
результат:
А (2)
= 0,01010010 - після округлення;
А (2)
= 0,01010001 - після зрізання.
Оцінимо похибка
отриманих чисел кінцевої розрядності.
При округлення
А (10)
0 * 2-1 + 0 * 2-3 + 1 * 2-4 + 0 * 2-5
+ 0 * 2-6 + 1 * 2-7 + 0 * 2-8 = 0,3203125
Звідси,
відносна похибка подання вихідного числа кодовим словом кінцевої
розрядності рівною 8 складає d »0,1%
При усіканні
А (10)
0 * 2-1 + 0 * 2-3 + 1 * 2-4 + 0 * 2-5
+ 0 * 2-6 + 0 * 2-7 + 1 * 2-8 = 0,31640625
що
відповідає d »1,15%
Існують
різні способи розрахунку розрядності коефіцієнтів з допускам на системні
характеристики. Найпростіший спосіб - метод проб.
Розрахунок по
методом проб починається з вибору розрядності коефіцієнтів орієнтовно,
суб'єктивно. Потім слід розрахунок системних характеристик з новими --
наближеними - значеннями коефіцієнтів, оцінка спотворень характеристик і
відповідна корекція розрядності коефіцієнтів у той чи інший бік.
Розрахунок повторюється стільки разів, скільки буде потрібно для задовільного
рішення задачі по вибору розрядності коефіцієнтів.
Чутливість
Аналіз
спотворень, викликаних квантуванням коефіцієнтів, зручно виконати за функцією
чутливості S.
Чутливість
деякої величини M до зміни параметра q (скорочено - чутливість M
з q) визначається так:
(4.8)
Чутливість
відповідає на питання: на скільки відсотків зміниться величина М, якщо параметр q
зміниться на 1%. Параметром q цифровий ланцюги можуть бути як коефіцієнти ланцюга,
так і залежні від них вторинні параметри, наприклад, координати полюсів і
нулів на площині Z. Зміст величини М може бути різним в залежності від
поставленого завдання; наприклад, один із системних характеристик або положення
полюса, якщо параметром q є коефіцієнт ланцюга.
Розглянемо
детальніше чутливість передавальної функції по одному з коефіцієнтів
ланцюга ai
(4.9)
Чутливість
комплексу передавальної функції зручно одержувати безпосередньо по (4.9)
Чутливість
АЧХ і ФЧХ
Можна висловити
через дійсну і уявну частини чутливості комплексу передавальної
функції. Дійсно,
Отже
(4.10)
Приклад. Визначити
чутливість АЧХ по коефіцієнту b, якщо
Рішення
Тут
Отже
де
Звідси
чутливість АЧХ по коефіцієнту b
Чутливість
частотних характеристик досить оцінити на частоті полюса максимальної
добротності wк, що визначається з
згідно (4.6), значенням кута полюса
Qк = wкТ
На частоті wк чутливість бере
максимальне значення:
Оцінку
максимуму чутливості за коефіцієнтом ai можна застосувати, зокрема,
до розрахунку розрядності коефіцієнтів з допускам на відхилення АЧХ. Розрахунок
починається з визначення середньоквадратичне чутливості по всіх
коефіцієнтами ai.
(4.11)
Необхідність
середньоквадратичне критерію пояснюється різним поєднанням знаків чутливість
в залежності від частоти, тому сумарна чутливість може виявитися
рівною нулю навіть на частоті wк.
У режимі малих
збільшень коефіцієнтів реакція системи проявляється по лінійному закону,
тому можна скористатися пропорцією
1% -
dS - dН
і визначити
середньоквадратичне значення похибки коефіцієнтів dS по допуску на відхилення АЧХ dН.
Порівнюючи
потрібну установку dS і реалізоване середньоквадратичне значення похибки
коефіцієнтів d'S
d'S = (4.12)
можна визначити
розрядність коефіцієнтів методом проб.
Як
приклад аналізу ланцюга по функції чутливості можна зробити посилання на аналіз
чутливості смугового ЦФ до зміни тактової частоти. Виявилося, що
зсув смуги пропускання збільшенням тактової частоти, при незмінній ширині
смуги пропускання, вимагатиме збільшення розрядності коефіцієнтів.
Масштабування
сигналу в ланцюзі
Рівень шуму
квантування на виході джерела шуму не залежить від рівня сигналу: рівень шуму
визначається величиною кроку квантування. Тому співвідношення сигнал/шум тим
вище, чим вище рівень сигналу в ланцюзі. Але високі рівні сигналу можуть призвести
до переповнення суматори ланцюга, тобто до виходу числа за межі розрядної сітки
зліва в регістрі суматора, на якому виробляється сума. У системі чисел з
фіксованою комою таким межею називається одиниця.
Переповнення
суматора рівносильно обмеження сигналу зверху пороговим нелінійним елементом
в аналогової ланцюга.
Тому
виникає необхідність у масштабування сигналу з таким розрахунком, щоб
отримати високі рівні сигналу в ланцюзі з мінімальним ризиком перевантаження
суматори. Масштабування здійснюється спеціальним помножувач, який
встановлюється на вході ланцюга. На рис. 4.3. наведено приклад ланцюга з масштабним
помножувач.
Розрахунок
множника l виконується по кожному суматори
окремо. З безлічі розрахункових значень l необхідно вибрати найменше, тобто l того суматора, який найбільш
схильний до небезпеки переповнення.
Розрахункові
значення l рекомендується округлити в меншу сторону
до найближчого числа кратного ступеня 2: операцію множення на число кратне
ступеня 2 можна виконати простим зрушенням числа в числовому регістрі, що
практично не вимагає витрат часу і обладнання на множення надходять
кодових слів.
Розглянемо
методи розрахунку масштабного множника.
Розрахунок по
умовою обмеження максимуму сигналу
Сигнал на вході
i-ого суматора визначається за формулою згортки
де x (n) --
сигнал на вході ланцюга
lhi (n) - імпульсна
характеристика ділянки ланцюга від входу до виходу i-ого суматора.
Максимум модуля
сигналу yi (n) має місце при дотриманні умови:
x (n-k) = (1,
якщо hi (k)> 0
-1, якщо hi (k)
