Хвильовий
рівняння не має єдиного рішення
Віктор Кулігін,
Галина Кулігіна, Марія Корнєва, Дослідницька група «Аналіз»
Теорема про
порушенні єдиності рішення
Теорему про
існування та єдиності розв'язку задачі Коші можна знайти в [1]
(стор.44 ... 46). Логіка доказ приводить до однорідного хвильовому рівнянню
(77) (див. стор.45 в [1]), рішення якого має задовольняти нульовим
початковим і граничним умовам (стор.45 в [1]). Далі йде доказ, що
рішення цього рівняння тривіальне і на підставі цього робиться висновок про
єдиності розв'язку задачі Коші для хвильового рівняння.
Виявляється,
існує безліч рішень задачі Коші для хвильового рівняння. Ми наведемо
доказ для вільного простору (одновимірний випадок). Це
продиктоване наступними міркуваннями. По-перше, доказ не буде
перевантажено додатковими деталями. По друге, доказ цього випадку не
порушує спільності міркувань і його неважко узагальнити на випадок наявності
граничних умов. По-третє, нас цікавлять процеси у вільному просторі
(випромінювання і поширення хвиль в електродинаміки), до яких це
доказ має пряме відношення.
Доказ
Розглянемо
однорідне хвильове рівняння в безмежному одновимірному просторі з нульовими
початковими умовами.
(1)
Початкові
умови: v = 0 і
