Цифрові фільтри

А. Т. Бізін

Сибірська Державна Академія телекомунікацій та інформатики

Новосибірськ 1998

Цифрова система обробки сигналів

Обробка дискретних сигналів здійснюється як правило в цифровій формі: кожному відліку ставиться у відповідність двійкове кодове слово і, в результаті, дії над відліку замінюються на дії над кодовими словами. Таким чином дискретна ланцюг стає цифровий ланцюгом, цифровим фільтром (ЦФ). Переклад відліків в двійкові кодові слова відбувається в аналогово-цифровому перетворювачі (АЦП). На виході ЦФ (мал.3.1) здійснюється зворотний операція: кодові слова в нарешті, на виході, який синтезує фільтра (СФ) формується оброблений аналоговий сигнал.

Дискретна і цифрова ланцюга описуються однаковими рівняннями. Відмінність полягає в наближеному характер подання відліків сигналу кодовими словами кінцевої розмірності (помилки квантування). Тому сигнал на виході цифрового ланцюга відрізняється від ідеального варіанту на величину похибки квантування.

Цифрова техніка дозволяє одержати високу якість обробки сигналів незважаючи на помилки квантування: помилки (шуми) квантування можна привести в норму збільшенням розрядності кодових слів. Раціональні способи конструювання цифрової ланцюга також сприяють мінімізації рівня шумів квантування.

Розрахунок цифровий ланцюга по заданих вимог до її характеристиками має ряд принципових особливостей залежно від наявності зворотного зв'язку. Ці особливості є наслідком кінцевої довжини імпульсного відгуку нерекурсівного ЦФ.

Тому нерекурсівние фільтри містять велику кількість елементів ланцюга, але разом з тим мають цілий ряд важливих переваг: нерекурсівние ЦФ завжди стійкі, дозволяють будувати фільтри з мінімальної лінійної фазою, відрізняються простою настройкою. З урахуванням викладеного стають зрозумілі причини, через які методи розрахунку нерекурсівних ЦФ і рекурсивних цифрових фільтрів прийнято розглядати окремо.

Розрахунок нерекурсівних ЦФ загального вигляду.

Мета розрахунку нерекурсівних цифрових фільтрів (рис. 3.2, а) полягає в розрахунку значень коефіцієнт і їх числа N за допускам на системні характеристики, а так само в розрахунку розрядності кодових слів і виборі оптимального динамічного діапазону ЦФ за нормами на перешкодозахищеність сигналу і ймовірність перевантаження системи, що визначається ефектами кінцевої розрядності кодових слів.

Вимоги до системним характеристикам частіше задаютс щодо однієї з них: імпульсної або частотної. Тому розрізняють розрахунок ЦФ у часовій області та розрахунок ЦФ в частотної області.

Розрахунок ЦФ в тимчасовій області.

Необхідна імпульсна характеристика в загальному випадку має нескінченну довжину в часу. Тому спочатку треба задатися кінцевим числом N перше відліків необхідної імпульсної характеристики

.

Решта відліки через їхню малості відкидають і визначають похибка наближення, яку можна оцінити, наприклад, за середньоквадратичне критерієм близькості.

Коефіцієнти фільтра приймаються рівними відповідним відліку необхідної імпульсної характеристики. Після розрахунку розрядності коефіцієнт, шумів квантування і масштабується коефіцієнт залишається оцінити похибку реалізованої імпульсної характеристики в відношенню до потрібної і прийняти рішення про необхідність повторного розрахунку.

Розрахунок ЦФ в частотної області.

Спочатку необхідно продовжити потрібної частотну характеристику на діапазон [0,5 wд; wд] за правилами комплексно-сполученої симетрії (рис. 3.2, б), що визначається речовим характером імпульсного відгуку. За характеристиками слід визначити N комплексних частотних відліків

,

де число N вибирається оріентіровачно з таким розрахунком, щоб плавним з'єднанням точок і необхідні криві відновилися без помітних спотворень.

Розрахунок коефіцієнт фільтра виконується за формулою зворотного ДПФ

(3.1)

Потім необхідно розрахувати реалізовані частотні характеристики за формулами, які випливають з вирази для передавальної функції фільтра.

, або. (3.2)

Залишається порівняти необхідні і реалізовані характеристики і прийняти рішення про необхідності повторного розрахунку.

Розрахунки за обліку ефектів кінцевої різниці кодових слів залишаються колишніми.

Схеми і характеристики фільтрів з лінійної фазою

Нерекурсівний фільтр дозволяє отримати парну чи непарну імпульсну характеристику і, як результат, лінійну ФЧХ або довільної АЧХ, що випливає з теореми про спектр парних і непарних сигналів: спектр фаз парних і непарних сигналів є лінійним.

Фільтри з парними імпульсними характеристиками називаються симетричними, з непарними -- антісімметрічнимі. Кожен із зазначених типів фільтрів має свої особливості в залежно від парності числа відводів N, що зручно розглянути на конкретних прикладах.

Симетричні фільтри з непарним N.

На рис. 3.3, а наведена схема та імпульсна характеристика симетричного фільтру для випадку N = 5. Передавальна функція такого ланцюга:

H (Z) = a2 + a1Z-1 + a0Z-2 + A1Z-3 + a2Z-4 = Z-2 [a0 + A1 (Z + Z-1) + a2 (Z2 + Z-2)]

Звідси, після підстановки Z = e jwT і з урахуванням формули Ейлера

H (jw) = E-j2wT (a0 + 2a1 cos wT + 2a2cos 2wT)

отже, формули АЧХ і ФЧХ

H (w) = A0 + 2a1 cos wT + 2a2cos 2wT, j (w) =-2wT

Графік АЧХ і графіки що пояснюють характер АЧХ - cos wT, cos 2wT - Наведені на рис. 3.4, а.

Симетричні фільтри з парним N.

На рис. 3.3, б наведено схему та імпульсна характеристика симетричного фільтру для випадку N = 4. Передавальна функція фільтра

H (Z) = a2 + a1Z-1 + a1Z-2 + A2Z-3 = Z-1, 5 [a1 (Z0, 5 + Z-0, 5) + a2 (Z1, 5 + Z-1, 5)]

Звідси H (jw) = e-j1, 5wT (2a1 cos 0,5 wT + 2a2cos 1,5 wT)

Відповідні формули АЧХ і ФЧХ

H (w) = 2a1 cos 0,5 wT + 2a2cos 1,5 wT, j (w) = -1,5 WT

Характер АЧХ і що пояснюють графіки - на рис. 3.4, б.

Антісімметрічние фільтри з непарним N.

На рис. 3.5, а наведено схему та імпульсна характеристика антісімметрічного фільтра для випадку N = 5.

Передавальна функція фільтра

H (Z) = a2 + A1Z-1 + 0Z-2 - a1Z-3 -- a2Z-4 = Z-2 [a1 (Z - Z-1) + A2 (Z2 - Z-2)]

звідси H (jw) = e-j2wT j (2a1 sin wT + 2a2 sin2wT)

Тому формули АЧХ і ФЧХ

H (w) = 2a1 sin wT + 2a2 sin 2wT, j (w) =-2wT що пояснюють графіки - на рис. 3.6, f.

Антісімметрічние фільтри з парним N.

Схема і імпульсна характеристика для випадку N = 4 наведено на рис. 3.5, б. Передавальна функція

H (Z) = a2 + a1Z-1 - a1Z-2 - A2Z-3 = Z-1, 5 [a1 (Z0, 5 - Z-0, 5) + a2 (Z1, 5 - Z-1, 5)]

Звідси

H (jw) = E-j1, 5wT j (2a1 sin 0,5 wT + 2a2sin 1,5 wT)

Формули АЧХ і ФЧХ

H (w) = 2a1 sin 0,5 wT + 2a2 sin 1,5 wT, j (w) = -1,5 wT

Характер АЧХ і що пояснюють графіки - на рис. 3.6, б.

Загальні властивості фільтрів з лінійної фазою

Аналіз розглянутих варіантів фільтрів з лінійної фазою дозволяє зробити висновки загального характеру.

1. Симетричні фільтри.

H (0) № 0, j (w) =-wT (3.3)

а. Якщо N -- непарне, то АЧХ - парна функція

H (w) = А0 + 2 аm cos mwT (3.4)

Застосовується при умови H (0,5 wд) № 0

б. Якщо N -- парне, то АЧХ - непарна функція

H (w) = 2 аm cos [(m - 0,5) wT] (3.5)

Застосовується при умови H (0,5 wд) = 0

2. Антісімметрічние фільтри

H (0) = 0, j (w) =-wT (3.6)

а. Якщо N -- непарне, то АЧХ - непарна функція

H (w) = 2 аm sin m wT (3.7)

Застосовується при умови H (0,5 wд) = 0

б. Якщо N -- парне, то АЧХ - парна функція

H (w) = 2 аm sin [(m - 0,5) wT] (3.8)

Застосовується при умови H (0,5 wд) № 0

На рис. 3.7, а, б наведені графіки, що пояснюють зазначені вище властивості.

Якщо необхідна передавальна функція має в якості множника уявну одиницю, то застосовуються виключно антісімметрічние фільтри. Наприклад, передавальна функція диференціатор або інтегратора

H (jw) H (jw) = 1/jw

У цьому випадку умови

Н (0) = 0, або H (0,5 wд) = 0, або H (0,5 wд) № 0

при необхідності слід відтворити штучно.

Розрахунок ЦФ з лінійної фазою. Метод зважування.

Розрахунок фільтрів з лінійною фазою починається з вибору типу фільтра (симетричний, антісімметрічний) і парності N у відповідності із загальними властивостями фільтрів з лінійної фазою і необхідної АЧХ.

а. Якщо Н (0) № 0, то фільтр симетричний. Звідси:

N - непарне, якщо H (0,5 wд) № 0

N - парне, якщо H (0,5 wд) = 0

б. Якщо Н (0) = 0, то фільтр антісімметрічний. Звідси:

N - непарне, якщо H (0,5 wд) = 0

N - парне, якщо H (0,5 wд) № 0

Після вибору типу фільтра та парності N необхідно продовжити потрібної АЧХ на діапазон [0,5 wд; wд] у відповідність з графіками на Рис. 3.7, а, б. Вибір розрахункової формули для ФЧХ, тобто (3.3) або (3.6), визначається типом фільтра.

Після виконаних процедур розрахунок фільтра здійснюється за загальними правилами розрахунку не рекурсивних ЦФ.

Приклад. Розрахувати ФНЧ з лінійною фазою за наступними вихідними даними:

ПП ® [0; 200] Гц, перехідна область ® [200; 300] Гц.

Рішення

Вибираємо fд = 800 Гц. Звідси після нормування частот W =

ПП ® [0; 0,25], Пн ® [0,375; 0,5].

Тут Н (0) № 0, тому фільтр симетричний.

H (0,5 wд) = 0, тому N - парне.

Отже, потрібної АЧХ необхідно продовжити на діапазон [0,5 wд; wд] непарних чином (Рис. 3.8, а).

Розрахунок починається з вибору величини N.

Нехай N = 8. Звідси інтервал між вибірками W1 = = 0,125.

Формула для ФЧХ (3.3): j (w) =-wT . Звідси

j (W) =-7pW, або для частот вибірки j (kW1) =-7pW1,

Відлік АЧХ -- по необхідної АЧХ на графіку Рис. 3.8, а.

Отже, комплексні частотні відліки:

Н (jkW1) = (1e j0; 1e-j0, 875p ; 1e-j1, 75p ; 0; 0; 0;-1e-j5, 25p ;-1e-j6, 125p )

Звідси розрахунок імпульсної характеристики за формулою обр. ДПФ

h (nT) = H (jkW1) e j (2p/N) kn =

= (0,065; -0,165; 0,025; 0,53; 0,53; 0,025; -0,165; 0,065)

що відповідає схемі фільтра на Рис. 3.8, б

Розрахункова формула АЧХ такого типу фільтру - (3.5).

Тому Н (W) = 1,06 cos pW + 0,05 cos 3pW - 0,33 cos 5pW + 0,13 cos 7pW

Результати розрахунку реалізованої АЧХ наведені на графіку Рис. 3.8, а (штрихова лінія).

В околиці точок розриву необхідної АЧХ (у даному прикладі це частоти 0,25 і 0,75) відхилення від норми реалізованих характеристик виходить значним внаслідок впливу ефекту Гіббса. Ослабити вплив ефекту Гіббса вдається введенням ваговій функції (метод зважування) до імпульсної характеристиці.

Нова імпульсна характеристика формується за правилом:

h '(nT) = W (nt) * h (nT)

Де W (nT) -- вагова функція або "згладжує вікно".

Знаходять застосування різні типи вікон, наприклад "вікно" Хеммінга:

W (nT) = 0,54 + 0,46 cos [2p], (3.9)

де n = 0, 1, 2, ... (N - 1)

Для розглянутого прикладу

W (nT) = (0,08; 0,244; 0,64; 0,96; 0,96; 0,64; 0,244; 0,08)

h '(nT) = (0,005; -0,04; 0,016; 0,51; 0,51; 0,016; -0,04; 0,005)

Звідси нові коефіцієнти фільтра і нова передавальна функція

H '(Z) = 0,005 -- 0,04 Z-1 + 0,016 Z-2 + 0,51 Z-3 + 0,51 Z-4 + 0,016 Z-5 - 0,04 Z-6 +

+ 0,005 Z-7

Графік АЧХ з урахуванням згладжує вікна приведений на Рис. 3.9. Розрахункова функція отримана з формули для Н '(Z) після підстановки

Z = ejwT = Ej2pW.

Порівнюючи реалізовані АЧХ на Рис. 3.8, а і Рис. 3.9, можна переконатися в поліпшенні якості апроксимації необхідної АЧХ при введенні "вікна".

Зі зростанням N позитивний ефект від застосування "згладжує вікна" зростає.

У розглянутому прикладі норми на відхилення реалізованої АЧХ від необхідної не задані. Якщо ці норми не виконуються, то .... (рядок ксерокопії не влізла)

Метод частотної вибірки

коефіцієнти не рекурсивного ЦФ (Рис. 3.2, а) відповідають відліку імпульсної характеристики. Схему не рекурсивного ЦФ можна перетворити таким чином, щоб коефіцієнти фільтра відповідали відліку іншої системної характеристики - передавальної функції. Нова схема ЦФ є основою конструювання фільтрів за методом частотної вибірки.

Схема фільтра.

Схема фільтра формується за результатами еквівалентних перетворень передавальної функції не рекурсивного ЦФ

H (Z) = an Z-n

де в відповідно до формули зворотного ДПФ

an = h (nT) = H (jkw1) ej (2p/N) kn

отже

Н (Z) = H (jkw1) ej (2p/N) kn Z-n = (ej (2p/N) kn Z-1) n

Застосовуючи тут формулу суми N перших членів геометричної прогресії

отримуємо

H (Z) = = P (Z) (3.10)

де

P (Z) = 1 - dZ-N, Fk (Z) = 1/(1 - bkZ-1), d = ej2pk, bk = e j2pk/N (3.11)

Схема фільтра, відповідного (3.10), наведена на Рис. 3.10, а. Схеми ланок фільтра, відповідних (3.11), наведено на Рис. 3.10, б.

Схема фільтра на рис. 3.10 застосовується з урахуванням поправок, зумовлених особливостями розташування нулів і полюсів передавальної функції.

Нулі і полюси H (Z) (3.10), тобто корені рівнянь

1 - ej2pk Z-N = 0, 1 - e j2pk/N Z-1 = 0

Розташовані на одиничною окружності площині Z в точках

Zk = e j2pk/N

і взаємно компенсується. Але компенсація виходить неповною через кінцевої розрядності кодових слів, що призводить до стрибків частотної характеристики фільтра і, більше того, не виключена ймовірність самозбудження ланцюга. Тому рекомендується зміщати точки Zk всередину одиничного кола на малу величину, тобто

Zk = e-aT/N e j2pk/N, де aТ <10-5

що відповідає коефіцієнтів фільтра

d = e-aT e j2pk, bk = e-aT e j2pk/N (3.12)

Невелика поправка коефіцієнтів фільтра (3.12) практично не відіб'ється на характеристики фільтра.

Частотна характеристика фільтра

Частотна характеристика фільтра за методом частотної вибірки виходить підстановкою

Z = ejwT,

в (3.10). Звідси, з урахуванням формули Ейлера,

H (jw) =

отже

(3.13)

що відповідає ряду Котельникова для спектрів дискретних сигналів. Таким чином, частотну характеристику не рекурсивного ЦФ можна представити як в формі ряду Фур'є, так і у формі ряду Котельникова.

Кожна з відлікових функцій в (3.13)

(3.14)

на частоті w = kw1 приймає значення частотної вибірки H (jkw1); інші відліковим функції на цій частоті звертаються в нуль. На графіку Рис. 3.11 показана як приклад деяка АЧХ і її складові - равносмещенние відліковим функції для випадку N = 8, де відліковим функції представлені головним пелюсткою, крім модуля відліковий функції при К = 0, яка зображена повністю.

З урахуванням викладеного зрозуміло, що регулювання частотних відліків фільтра за методом частотної вибірки є взаімонезавісімой подібно взаімонезавісімой регулюванні відліків імпульсної характеристики не рекурсивного ЦФ за схемою на Рис. 3.2, а.

Розрахунок фільтра починається з орієнтовного вибору величини N. Коефіцієнти фільтра прирівнюють до відповідних відліку необхідної частотної характеристики. Особливий випадок має місце в точках розриву характеристики: відліки, розташовані в околі точок розриву, тобто в перехідній області, необхідно вибирати з таким розрахунком, щоб отримати задовільний наближення реалізованої характеристики до необхідної в діапазоні частот, прилеглому до перехідної області. Найбільш часто в перехідну область потрапляє 1 або 2 відлікових частоти. У цьому випадку задовільний результат апроксимації можна отримати простим підбором модуля відліків в перехідній області.

Після перевірочного розрахунку частотних характеристик за формулою 3.10 або 3.13 приймається рішення про необхідність повторного розрахунку.

Схема фільтра з речовими відводами

Реалізація фільтрів за схемою на Рис. 3.10, а зв'язана з деякими особливостями, зумовленими комплексним характером коефіцієнтів у відводи. Тому на практиці набув поширення ще один варіант схеми такого фільтру, що відрізняється речовим характером коефіцієнтів.

Фільтр з речовими коефіцієнтами виходить за рахунок об'єднання кожної пари відводів з індексами К і (NK), яка є комплексно-сполучених з причини комплексно-сполученої симетрії частотних характеристик фільтру щодо частоти 0,5 wд. У результаті

(3.15)

де a0k = Cos jk, a1k =-bk cos (jk - Qk), b1k =-2bk cos qk, b2k = b2k

Схема речового відведення, відповідного (3.15), наведена на Рис. 3.12.

Завершуючи обговорення фільтра з частотної вибіркою слід відзначити ще одну важливу якість таких фільтрів: у схемі відсутні ланки, що відповідають нульовим значеннями необхідної АЧХ. У результаті, наприклад, схема частотно-селективного фільтра істотно спрощується, зберігаючи при цьому можливість одержання лінійної фази.

Розрахунок рекурсивних фільтрів. Метод білінійної перетворення.

Методи розрахунку Прямі методи припускають розрахунок безпосередньо рекурсивного ЦФ, непрямі використовують у як проміжного етапу розрахунок аналогового фільтра (АФ).

До числа непрямих методів відноситься метод білінійної перетворення, заснований на такому перетворень?? тання частот, при якому частотна ось стискується до кінцевих розмірів. Формула частотного перетворення

або

де w -- реальна частота, тобто частота проектованого ЦФ, - розрахункова частота, тобто частота допоміжного АФ,, - відповідні комплексні частоти.

На рис. 3.13, а наведено графік залежності розрахункової частоти від реальної частоти, на Рис. 3.13, б - приклад відповідності кривих АЧХ фільтрів АФ і ЦФ.

Зв'язок комплексних змінних допоміжного АФ і реального ЦФ, тобто і Z визначається рівністю

(3.17)

Формула (3.17) виходить підстановкою в (3.16) Z = epT. У результаті

Перерахуємо послідовність етапів розрахунку ЦФ методом білінійної перетворення.

1. Переклад необхідні характеристики і норми ЦФ у відповідні вимоги до АФ, застосовуючи формулу

2. Розрахувати передавальний функцію АФ, застосовуючи методи розрахунку аналогових фільтрів.

3. Визначити передавальний функцію ЦФ H (Z) за відомою

4. Побудувати схему ЦФ по H (Z).

5. Виконати необхідні розрахунки з обліку ефектів кінцевої розрядності.

Приклад. Розрахувати рекурсивний ЦФ нижніх частот методом білінійної перетворення по наступними вихідними даними:

ПП ® [0; 200] Гц, перех. область ® [200; 300] Гц, Dа = 3 дБ, Аmin = 15 дБ.

Рішення

Вибираємо fд = 800 Гц.

Контрольні частоти для перекладу норм ЦФ в норми АФ: 0; 200 Гц; 300 Гц.

Розрахункова формула для перетворення частот

У результаті

f = 0 ® ® Wн = 0

f = 200 Гц ® 1600 ® Wн = 1

f = 300 Гц ® 3840 ® Wн = 2,4

де Wн = - Нормована частота ФНЧ,

= 1600 - частота зрізу ФНЧ.

Основна формула розрахунку АФ

У даному випадку достатньо обмежитися апроксимуючих поліномом Баттерворта другого порядку. Тому, з огляду на що Е = 1 для Dа = 3 дБ, отримуємо

отже

Звідси полюси Н (рн): рН 1,2 = -0,707 ± j 0,707,

що відповідає нормованої передавальної функції

Підставляючи тут

,

отримуємо денормірованную передавальний функцію АФ

Після підстановки тут (3.17), отримуємо передавальний функцію рекурсивного ЦФ

Що відповідає схемою рекурсивного ЦФ, наведеною на Рис. 3.14, а.

Доречно нагадати, що схему ланцюга з дробової передавальної функції від Z зручно будувати в 2 етапи: спочатку будується не рекурсивна частина, відповідна чисельнику Н (Z), потім каскадно з нею - рекурсивна частина, відповідна дробу, у чисельнику якої - одиниця.

Графік реалізованої АЧХ наведено на рис. 3.14, б.

Нелінійна залежність частотного перетворення (3.16) визначає як недоліки, так і достоїнства методу білінійної перетворення. Недолік у тому, що похилі ділянки частотної характеристики змінюють свій нахил тим більше, чим вище частота. Тому, наприклад, лінійна фаза після перетворення (3.16) стає нелінійної. Гідність визначається відсутністю помилок накладення при переході АФ ® ЦФ, що дозволяє отримати високі рівні ослаблення в ПН при конструюванні частотно-селективних фільтрів.