Математика нескінченності

Юрій Лебедєв

Аш-функція Хевісайда

Все відбувається по щаблях,

Як життя сама.

Я відчуваю, що поступово

Божеволію.

Н. Глазков, 1943 р.

Одного вечора Серафим Серафимович Аралов, директор музею історії МХТІ ім. Д.І. Менделєєва, подзвонив мені і сказав, що у зв'язку з реконструкцією будинку біля метро «Смоленська» під загрозою знаходяться залишки архіву відомого хіміка Петра Петровича Будникова. Треба було спробувати врятувати документи. Наступний день у мене був зайнятий, і ми домовилися поїхати за паперами післязавтра. На жаль! Ми запізнилися. Саме на завтра весь «мотлох» з будніковской квартири будівельниками був викинутий на смітник. З тих пір я не можу спокійно проходити повз куп будівельного сміття - мені здається, що серед цих палиць, битої цегли і шматків паперу можуть валятися чиїсь рукописи, втрата яких призведе у відчай майбутніх істориків науки.

І, уявіть собі, ці побоювання виявилися не марними! Через деякий - досить тривалий - час випадок знову покликав мене до архівних вишукувань. У покинутій селі Копйова Костромської області, де я проводив літо, впав від старості будинок, і я, дивлячись не ще запилені купу старих колод, соломи, обідраних шпалер, згадав історію будніковского архіву. А раптом?!

Коли у мене в руках виявилася стара картонна папка, я був уже впевнений, що в ній не вирізки з газет про «цариці полів» кукурудзі. І зовсім не здивувався тому, що моя впевненість виправдалася. У папці знаходилися рукописи або, точніше, чернетки двох статей - «Принципи семіотичної термодинаміки »,« Відмова від виключення »- і ціла пачка інших, для прочитання яких буде потрібно ще багато зусиль. Ні імені автора, ні дати написання на листках не було. Найімовірніше, папку забув хтось із «дикунів» минулих років. Не маючи можливості порозумітися з автором, я вирішив запропонувати вашій увазі свій варіант розшифровки однієї з цих вкрай недбало написаних неудобочітаемим почерком статей.

Я довго не міг зрозуміти, до якого жанру відноситься знайдена мною рукопис, чого хотів невідомий автор? Тепер, як мені здається, я знайшов відповідь. Папка зберігала наукові фантазії! Цей жанр, широко відомий завдяки працям С. Лема, не слід плутати з науковою фантастикою, в якій так само плідно працював Лем. «Соляріс» - це наукова фантастика, а «Історія бітіческой літератури» - це наукова фантазія. І оскільки будь-який жанр, крім нудного, має право претендувати на увагу читача, знайдені мною тексти спробують реалізувати це своє право. Наскільки воно законне, судіть самі.

Відмова від виключення

... одні співробітники весь час займалися розподілом нуля

на нуль на настільних «мерседесах», а інші відпрошувався

у відрядження на нескінченність ...

А. і Б. Стругацькі. Понеділок починається в суботу

Листок перший

Весь попередній досвід стверджує нас

у вірі, що природа являє собою реалізацію

найпростіших математично мислимих елементів.

А. Ейнштейн. Про метод теоретичної фізики.

Спенсеровская лекція, 10 липня 1939

Що значить «найпростіших»? коли влітку 1966 р. я задумався над дивним забороною арифметики - забороною ділення на нуль, мені здавалося, що найпростішим елементом, альфою і омегою всієї теорії чисел є нуль. Тепер ясно, що і він також складний, як і все в світі. Як точно сказав про це Леонардо да Вінчі: «Серед великих речей, що знаходяться поміж нас, існування Ніщо - річ найбільша! »

Зараз не важливо, звідки взялася впевненість в тому, що нуль - повноправне число, та й не важливо строго математичне розуміння терміна «число». Все подальше - не більше ніж інтуїтивний здогад, з якої професіонали (якщо захочуть!) можуть отримати «наукову компоненту», а інші, смію сподіватися, порадіють тим асоціаціям, які виникнуть при читанні.

До речі, скажу для професіоналів, що і про роботи індійського математика й астронома VI ... VII ст. Брамагупта, який розглядав вживання нуля у всіх арифметичних діях, я тоді, влітку 1966 р., абсолютно нічого не знав.

Головне, по-моєму, все-таки те, що ідея виникла. Прав Ейнштейн, «відкриття не є справою логічного мислення, навіть якщо кінцевий продукт пов'язаний з логічною формою ».

Отже, твердження: нуль є число.

Слідство: 1/0 - теж число! Але 1/0> M, де M -- як завгодно велике! І це дуже важливо - існує число, якісно що відрізняється від будь-якого до цих пір відомого. Якісно нове число ... k-число. Хай так і позначається в подальшому. Цікаво відзначити, що серед «Нескінченних» чисел вона не єдина, воно тільки початок ряду: k, 2k, 3k і т.д. Числова вісь переступила поріг нескінченності.

Листок друга

Дорогу осилит идущий ...

Рігведа. Гімн щедрості, X століття до н.е.

Ще раз. Для ясності, k-число так само конкретно і єдино, як і будь-яке інше число. Просто раніше нескінченність була тією сміттєвої купою, куди валили уламки всіх функцій, що розбилися при поділі на нуль.

(Хм. .. Знову мотив сміттєвої купи, в якій і була знайдена ця рукопис ... Але не в цьому справа. Фраза в автора вийшла виразним, але по суті вона неправильна, бо з натяжкою може бути віднесена лише до потенційної нескінченності, до актуальної ж і зовсім непридатна. Крім того, в ній мається на увазі, що нуль - це межа функції, і нескінченність -- функціональна. У тексті ж розглядається числова нескінченність. Але не будемо чіплятися, як будь-яка подібна фраза, інтуїтивно вона може бути і глибока. -- Ю.Л.)

Більш того, k-числа - продовження осі дійсних чисел:

1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - ... - K - 2k - 3k - 4k - 5k - 6k-...

А що таке