Що таке стохастичний резонанс?

І. П. Іванов

Стохастичний резонанс - що значить це словосполучення? "Стохастичний" - це відноситься до області хаосу, до безладного поведінки, до процесу, динаміка якого випадкова і непередбачувана. Відомим прикладом такого процесу є броунівський рух. Слово "резонанс" в самому загальному сенсі означає сильний відгук будь-якої системи на невелику зовнішній вплив (знаменитий приклад з військової історії: руйнування моста через те, що по ньому в ногу пройшла рота солдатів). Важливо те, що такий сильний відгук - вибірковим, тобто він виникає тільки за певних параметрах зовнішнього впливу. Наприклад, при вимушеній коливанні маятника резонанс виникає, якщо частота зовнішнього впливу порівнюється з власною частотою коливань системи.

Разом ж ці два слова означають дуже цікаве і, на перший погляд, таке, що суперечить здоровому глузду явище, яке має місце в багатьох абсолютно різних системах і навіть, як виявляється, вже давно використовується Природою. Дивно ще й те, що хоча це явище досить просте (для його розуміння вистачить шкільного курсу механіки), воно було відкрито і усвідомлено зовсім недавно, в 80-х роках.

Суть явища стохастичного резонансу полягає в те, що додавання в систему шуму, тобто хаотичного руху, не зменшує, а навпаки посилює відгук системи на слабеньке періодичне вплив. Іншими словами, шум не пригнічує сигнал, а допомагає йому проявитися! І що цікаво - найбільш сильний ефект виникає при деякій цілком певної, оптимальної інтенсивності шуму.

Як таке може бути? Спробуємо пояснити це як можна більш докладно.

бістабільних система під дією зовнішньої сили.

Давайте розглянемо спочатку яку-небудь бістабільних систему. Слова "бістабільних система" говорять самі за себе - це система з двома положеннями стійкої рівноваги. Простий приклад механічний - Це рух матеріальної точки в потенціалі з двома мінімумами (див. рис.1). Якщо на частку діє ще і сила тертя, то ясно, що які б ми не вибрали початкові умови, коливання, зрештою, затухнути, частка "звалиться" в одну з потенційних ям і буде знаходитися там необмежено довго.

Для того, щоб частка все-таки потрапила в іншу потенційну яму, треба прикласти зовнішню силу. Якщо ця сила досить велика, то вона "витягне" частку з першої ями і перекине її під друге. Легко зрозуміти, наскільки велика повинна бути ця сила. Мовою потенціалу (в даному тексті потенціал використовується як синонім потенційної енергії) "прикласти зовнішню силу" означає додати лінійно зростаючий потенціал, як це показано на рис.1б. Якщо V (x) - бістабільних потенціал, то зовнішня сила повинна перевищувати величину F0 = | V''(x) |, взятої в точці перегину, тобто там, де повертає сила, створювана потенціалом, сама велика. Тоді сумарний потенціал модифікується так, як показано на малюнку, і частка скотиться в другу яму.

Якщо тепер зовнішня сила буде періодична за часом, то в результаті наша частка буде "скакати" з однієї ями в іншу і назад. Отже, що ми отримали: наша бістабільних система відгукується на сильний зовнішній вплив. При цьому частота, з якою система перескакує з одного стійкого стану в інший, збігається з частотою зовнішнього впливу.

Поки тут немає нічого дивного. Якщо зовнішній вплив дуже сильне, то система буде слухняно повторювати всі зміни і коливання цієї сили.

Подивимося, що буде, якщо зовнішній вплив виявиться не настільки сильним, тобто F F0 система починає перескакувати з одного стану в інший з частотою зовнішньої сили, а при F

Отже, висновок: у бістабільних системи існує якийсь поріг чутливості до зовнішніх впливів. Занадто слабкі, тобто підпорогової впливу залишаються для системи непоміченими.

Виникає питання: невже ніяк не можна змусити систему відчувати підпорогової сигнал? Виявляється, можна! І цю можливість надає саме стохастичний резонанс.

Відступ: трохи про випадкові функції.

Оскільки зараз мова піде про випадкову (хаотичної) зовнішній силі, корисно попередньо обговорити це термін детально.

Отже, що таке випадкова величина, а точніше, стосовно нашого завдання - хаотично змінюється в часі функція? До Наприклад, чи є функції, зображені на Рис.2, випадковими? Що є справжнім шумом, а що - сумішшю періодичного сигналу з шумом? Математика, а точніше, її гілку під умовною назвою "Теорія сигналу", надає чіткі відповіді на ці питання. Тут ми опишемо лише один з підходів, а саме, як за допомогою перетворення Фур'є відокремити періодичний сигнал від шуму.

Нехай у нас є функція y (t), яка якось вагається щодо нуля. Приклади таких функцій як раз і представлені на Рис.2. Оскільки y (t) коливається біля нуля, то її середнє значення

T

= тy (t) dt ~ 0.

0

Тут T - повне час спостереження сигналу; ми будемо вважати, що T набагато більше, ніж характерні періоди коливань. Символ "~ 0" означає "багато менше твори амплітуди на T". Надалі, величини, взяті в такі кутові дужки, означатимуть усереднення за часом у вигляді представленого тут інтеграла.

Давайте тепер усереднюючи y (t), домноженную на cos (wt) з певною частотою w. Для різних w ми будемо при інтегруванні отримувати різні значення. Іншими словами, ми отримаємо якусь функцію, що залежить від w:

f (w) =.

Ця функція називається Фур'є-образом вихідного сигналу y (t), а перехід від змінної t до змінної w і є перетворення Фур'є.

Дивлячись на Фур'є-образ функції, можна визначити, чи присутній у сигналі будь-яка періодична складова, або ж це чистий шум. Дійсно, нехай наш сигнал - це чистий косинус з частотою w0: y (t) = acos (w0t).

Тоді, при обчисленні ми отримаємо f (w) ~ 0 для будь-яких w, не рівні w0, і більшу величину aT/2 при w = w0. Фур'є-образ f (w) в цьому випадку буде виглядати, як показано на рис.2 у верхньому ряду.

Якщо ж наш сигнал є чистий шум, то інтеграл буде давати якусь, приблизно постійну величину для будь-яких значень w. Це і є ознака того, що перед нами так званий "білий шум", тобто шум, в якому рівноправно присутні всі частоти (рис.2, середній ряд). (На самом справі, треба, звичайно, працювати акуратніше, а саме, усереднювати і з косинусів, і з синусів, і виділяти амплітуду і фазу Фур'є-образу, але для наших цілей це непринципово.)

Якщо ж тепер змішати шум з періодичним сигналом, то Фур'є-образ буде виглядати, як у нижньому ряду рис.2. Ми побачимо, що над рівним Фур'є-образом білого шуму підноситиметься якась "гірка". Її становище і висота дозволять визначити частоту і амплітуду періодичної компоненти сигналу, схованої в шумі. Важливо ще й те, що завдяки Фур'є-перетворення можна детектировать періодичний сигнал, навіть якщо його амплітуда набагато менше амплітуди шуму.

бістабільних система під дією випадкової сили.

Отже, розглянемо знову нашу бістабільних систему в відсутності зовнішніх сил. Система завмерла в одному з положень рівноваги. Нехай тепер на частку діє випадкова сила, тобто давайте накладемо на систему випадкове зовнішній вплив, просто кажучи, шум. Під дією цієї сили частка буде випадково коливатися. При цьому може виявитися і так, що частинка, блукаючи по одній потенційній ямі, раптом перескочить і в другому. Середній час між такими перескока одно:

t = exp (DV/D).

Тут DV - висота бар'єру, що розділяє дві потенційні ями, а D - інтенсивність шуму. Видно, що чим сильніше шум, тим менше цей час, тобто тим частіше частка перескакує з однієї ями в іншу. Якщо зобразити залежність координати частинки від часу, то вийде приблизно така картина, як на рис.3.

Суть і властивості стохастичного резонансу.

Тепер - заключний акорд. Що станеться, якщо до зовнішнього шуму додати і слабенький, підпорогової періодичний сигнал? Зауважте, підпорогової, тобто який сам по собі, без шуму, не зміг би викликати перехід системи з одного стану в інший!

У цьому разі частка буде як і раніше скакати з однієї ями в іншу, але характер цього процесу зміниться: у ньому з'явиться періодична компонента з періодом, рівним періоду зовнішнього слабкого сигналу. Тобто, перескока здійснюються за рахунок випадкової сили, а періодична добавка лише "модулює" ефект (тобто додає свою власну періодичність). Саме так це підпорогової обурення і виявляється: шелест б усуває нездоланний раніше потенційний бар'єр і змушує систему відгукуватися на підпорогової сигнал. Це і є явище стохастичного резонансу.

Найцікавіша особливість стохастичного резонансу - Це те, що існує якась оптимальна інтенсивність шуму, при якій відгук системи на періодичний сигнал найсильніший. Як визначити, наскільки великий цей відгук, ми вже знаємо. Для цього треба побудувати залежність координати частинки від часу і за допомогою перетворення Фур'є виділити періодичну складову сигналу. Тоді амплітуда додаткового "горба" Фур'є-образу (рис.2) буде служити кількісною характеристикою чутливості системи. Дійсно, чим вище горб, тим сильніше виявляється зовнішній періодичний сигнал у русі частинки.

Проілюструвати цю особливість стохастичного резонансу допоможе мал.4. На ньому показано залежність координати частинки від часу при одному і тому ж слабкому періодичному сигнал, але при різних інтенсивності шуму. Значення координати +1 і -1 відповідають дну перший і другий потенційної ями. Видно, що коли інтенсивність шуму мала, частка довго знаходиться в одній потенційній ямі, перш ніж перестрибнути в іншу (рис. 4, нижній графік). Зовнішній періодичний сигнал тут ніяк не проявляється. Коли ми збільшуємо інтенсивність шуму до оптимальної, частка під сумарним впливом шуму і періодичної сили буде синхронно стрибати з однієї ями в іншу (рис.4, середній графік). Явно видно періодична складова відгуку системи, період якої збігається з періодом зовнішньої сили. Нарешті, при подальшому посиленні шуму рух частинки стане все більше і більше хаотичним; періодична компонента у відгуку буде зменшуватися (рис.4, верхній графік). Типова залежність відгуку системи від інтенсивності зовнішнього шуму показана на рис.5. Ясно видно, що при деякій інтенсивності відгук максимальний.

Залишилось тепер зрозуміти, чому взагалі існує оптимальна інтенсивність шуму і чому вона повинна рівнятися. Як ми бачили вище, заданої інтенсивності шуму відповідає цілком конкретне середній час перескока t з однієї ями в іншу. Так ось, умова на оптимальну інтенсивність шуму таке: треба, щоб викликається цим шумом час перескока дорівнювало половині періоду слабкої періодичного обурення:

t = T/2.

Як можна зрозуміти цю вимогу? Можна умовно сказати, що, почекавши час t, частка "дозріла" для того, щоб стрибнути у другому яму. З іншого боку, ми знаємо, що коли ми докладаємо зовнішню силу, ми злегка "нахиляє" потенціал так, як це показано на рис.6. Тобто, ми допомагаємо частці перестрибнути в іншу яму, і тому ймовірність стрибка в момент найбільшої зовнішньої сили дуже велика. Через полперіода T/2, коли частка вже "дозріла" для перескока назад у першу яму, потенціал вже нахилився в інший бік, знову ж таки сприяючи перескока. Тому саме в цей момент частка найбільш охоче здійснює стрибок.

Отже, завдяки тому, що "дозрівання" і період зовнішньої сили синхронізовані, виникає найбільш сильний відгук системи на зовнішнє періодичне обурення. Якщо ці два процеси не синхронізовані, чутливість до слабкої періодичної силі зменшується. Перед нами - типовий приклад виборчого впливу, тобто резонансу.

Додатки: льодовикові періоди на землі.

Історично, проблема, пов'язана з періодичністю настання льодовикових періодів, була першим завданням, для вирішення якої було залучено явище стохастичного резонансу. Оскільки вона є дуже цікавий приклад того, як спрощена механічна модель застосовується в дуже далекою від механіки області, ми зупинимося на ній докладніше.

Суть проблеми полягає в наступному. З геологічних даних відомо, що льодовикові періоди на Землі наступають приблизно кожні 40 тис. років. Це відбувається через те, що кут нахилу осі власного обертання Землі до площини екліптики (рівний в даний час 23,5 °) коливається від 0 ° до 90 ° з періодом 41000 років (рис.7). У цих двох крайніх положеннях Сонце опромінює полярні області по-різному, що призводить до освіти або до зникнення значних континентальних заледенінь в полярних областях.

Однак це ще не вся правда. Як показав статистичний аналіз, у послідовності заледенінь явно видно і додаткова періодичність з характерним періодом ~ 100 тис. років. Спостереження дуже інтригуюче, оскільки єдиний відомий процес в динаміці Землі з таким тимчасовим масштабом - це коливання ексцентрісітета земної орбіти, викликане гравітаційним обуренням інших планет (ріс.7б). Ексцентриситет -- це числовий параметр, що характеризує витягнутість еліпса; він дорівнює відношенню відстані між двома фокусами еліпса, поділене на його велику вісь. З точки зору глобального клімату, ексцентриситет показує, наскільки зима (усереднена по всій планеті) холодніше літа.

Отож, проблема полягає в тому, що ці коливання ексцентрісітета дуже малі (в даний час ексцентриситет дорівнює 0,0167). Що виникають при цьому коливання потоку сонячної енергії, що потрапляє на Землю за рік, і того менше, ~ 0,1%. Невже такі слабкі коливання можуть призводити до відчутні зміни клімату?

Саме для пояснення цього і була вперше залучена модель стохастичного резонансу. Роль бістабільних системи тут грає Земля. Два її стійких положення рівноваги - це Земля, вкрита континентальним льодом, і Земля, вільна від нього. Дійсно, Земля, покрита льодом, буде відображати значний відсоток сонячного світла, що призведе до зменшення глобальної температури, а виходить, буде охороняти льодовики від танення. Якщо все-таки щось змусить їх розтанути, то Земля стане поглинати набагато більший відсоток сонячного світла, її температура підвищиться, і це буде перешкоджати випадковому утворенню нових льодовиків.

Зовнішній підпорогової сигнал - це коливання потужності що потрапляє на Землю випромінювання, викликані зміною ексцентрісітета. Те, що це підпорогової сигнал, виходить, що самі по собі ці коливання не здатні змінити глобальний клімат на Землі. Нарешті, шум у даному випадку - це будь-які сильні короткочасні дії, наприклад, сезонні коливання температури.

Побудувавши цю модель і прорахувавши її, вчені, в самому справі, виявили, що через стохастичного резонансу такий сигнал може призвести до спостережуваних ефектів.

Додатки: від оптичних систем до нейронних мереж.

Стохастичний резонанс спостерігався і в лабораторії, причому в найрізноманітніших системах. Крім того, виявляється, що принцип стохастичного резонансу використовується і у функціонуванні живих організмів. Тут згадаємо тільки два приклади - стохастичний резонанс стосовно оптичним системам і до виникнення нервових імпульсів.

Прикладом оптичної системи, в якій спостерігався стохастичний резонанс, служить так званий кільцевий лазер (рис.8), в якому лазерне світло накачується в резонаторі з трьома або більше дзеркалами.У цій системі існує два стабільних режиму накачування лазерного світла, коли світло рухається за або проти годинникової стрілки. Експериментатори модулювати параметри накачування в цих двох режимах і спостерігали стохастичний резонанс у що виходить лазерному світлі. Це був один з перших експериментів (1988 рік), коли стохастичний резонанс спостерігався в лабораторії.

На початку 90-х років було усвідомлено, що стохастичний резонанс може відігравати ключову роль у нейрофізіологічних процесах, а саме, у функціонуванні нейронних мереж, в передачі імпульсів від однієї групи нейронів інший.

Наприклад, в експериментах 1991-1993 років було з'ясовано, що виникнення нервового імпульсу в механорецепторних клітинах річкового раку якраз засноване на явище стохастичного резонансу. Завдяки цього, рак може вусиками вловлювати слабке синхронне коливання води навколо себе, незважаючи на присутність різного роду "шумів", і таким чином заздалегідь дізнаватися про наближення небезпеки.

Після цих класичних експериментів ринув цілий потік робіт, присвячених ролі стохастичного резонансу у виникненні та поширення нервових імпульсів. Зараз це вже широко прийнята парадигма в біологічних і нейрофізіологічних науках.

Відкриті питання у фізиці стохастичного резонансу.

Квантовий стохастичний резонанс. Зовсім недавно, під другій половині 90-х років, постало питання про можливість існування стохастичного резонансу на квантовому рівні. Очікується, що квантове "тремтіння частинок", що існує завжди, навіть при абсолютному нулі температури, і яке відіграє тут роль шуму, сприятиме детектування квантового сигналу, поширенню інформації і т.д.

Стохастичний резонанс в інших системах. До цього мова йшла виключно про бістабільних системах. Проте недавно було усвідомлено, що це явище - абсолютно загального плану, і воно може виникати і в системах, відмінних від бістабільних. Головна вимога - це наявність будь-якого порога. Прикладом такої системи може служити потенціал, який ви бачите на мал. 9. У цьому випадку перескока відбуваються не між двома стійкими положень рівноваги, а між "основних" і "порушеними" станами системи.

Зовсім недавно було описано явище, назване "подвійним стохастичним резонансом". Тут на вільну частку діють відразу два типи шумів: перший створює щось на зразок бістабільних потенціалу, а друга примушує частку в цьому псевдопотенціале скакати. Явище дуже цікаве, оскільки воно є прекрасною ілюстрацією того, що шум може не тільки руйнувати тонкі, скоррелірованние процеси, а й навпаки -- давати їм життя.

Список літератури

[1] Rev.Mod.Phys. 70 (1998) 223 - солідний огляд за стохастичною резонансу

[2] http://hpcweb.nosc.mil/sr/parallelSR.html -- деякі питання стохастичного резонансу.