перемішування рідин
Джуліо М. Оттіно
Просте двовимірне періодичне рух в'язкої
рідини може стати хаотичним, що призведе до ефективного перемішування.
Експерименти і комп'ютерне моделювання прояснюють механізм цього явища
Що спільного між катастрофічним виверженням вулкану
Кракатау, виготовленням листкового тіста і яскравістю зірок? Скрізь в тій чи іншій
мірою присутній перемішування. Інтенсивне перемішування магми могло
ініціювати виверження Кракатау; розминання і витягування - операції, що лежать
в основі будь-якого перемішування, - виробляються при замісі листкового тіста, а
перемішування речовини усередині зірки визначає її хімічний склад і яскравість.
Приклади перемішування можна виявити буквально всюди у Всесвіті. Тимчасові
і просторові масштаби цих явищ змінюються у величезних межах. Газ,
що потрапляє в атмосферу, змішується з навколишнім повітрям за лічені секунди,
тоді як процеси перемішування в мантії Землі тривають кілька сотень
мільйонів років і навіть більше.
перемішування має також вирішальне значення в
сучасною технологією. Воно дозволяє хімікам контролювати хімічні реакції
для виробництва полімерних матеріалів з унікальними властивостями і розподіляти
добавки, що зменшують в'язке тертя в трубопроводах. Однак, незважаючи на
настирливість як у природі, так і у виробництві, процес перемішування до цих
пір залишається до кінця не зрозумілим. Дослідники в різних областях не можуть поки
навіть встановити загальну термінологію для нього і використовують різні назви.
Безсумнівно одне - процес перемішування є
надзвичайно складним і виявляється в найрізноманітніших системах. При
створення теорії перемішування доводиться розглядати, наприклад, розчинні і
частково розчинні, хімічно активні та інертні рідини, повільні
ламінарні потоки, а також швидкі турбулентні потоки. Тому не дивно,
що не існує єдиної теорії, здатної детально пояснити процес
перемішування в рідинах, і що прямими обчисленнями неможливо охопити всі
важливі аспекти цього явища.
Проте певна інформація про процес
перемішування може бути отримана як за допомогою фізичних експериментів, так і
з використанням комп'ютерного моделювання. Протягом останніх років мої
співробітники і я намагалися використовувати обидва підходи для вивчення різних
аспектів цього процесу, особливо перемішування в повільних потоках і в'язких,
маслоподобних рідинах.
Хорошим прикладом служить змішування двох масляних
фарб. Буквально через кілька секунд виходить барвиста картина витягнутих
і викривлених смуг. (Іноді такий «мармуровий» малюнок використовують для
прикраси обкладинок і останніх сторінок книг.) Якщо ж їх цілеспрямовано не
перемішувати, то між візерунками зі смуг можуть залишитися незмішані «острівці»
чистих фарб. При перемішуванні в'язких рідин можуть виходити не тільки
незвичайно складні, але і в деякій мірі регулярні та когерентні структури.
Разом зі студентами Массачусет-ського університету в
Амхерсті ми проводили дослідження для з'ясування характеристик потоків, у
яких виникають подібні структури. Вони включали експерименти і комп'ютерне
моделювання процесів, що нагадують перемішування двох фарб. У деяких
експериментах в безбарвний гліцерин, що знаходиться в глибокій порожнини, вводилися
краплі пофарбованого гліцерину. Коли стінки порожнини наводилися в періодичне
рух, у такий в'язкої рідини виникали зсувне сили, які могли
вельми химерним чином витягати і згинати забарвлену краплю. Досить
скоро усередині порожнини з'являлася складна картина складок, які у свою чергу
утворюють складки. Проте така ж крапля в точно такий же прямокутної порожнини
могла майже не випробовувати витягування, а лише зміщуватися і повертатися, але
при цьому періодично повертатися в початкове положення. У чому причина
такого різного поведінки?
Основи механіки рідин
Ключем до розуміння основних аспектів змішування
є концепція «руху» - ідея, висхідна до XVIII ст. і пов'язана з
ім'ям відомого математика Леонарда Ейлера. «Рух» рідини описується
математичним виразом, що показує, в якій точці простору буде
перебувати кожен елемент рідини в будь-який момент часу в майбутньому. Якщо
«Рух» для даного потоку відомо, то в принципі можна дізнатися майже все і
про перемішуванні, що цей потік може призвести. Наприклад, можна обчислити
сили і повну енергію, необхідну для досягнення потрібного ступеня перемішування
в системі.
У минулому столітті такий підхід змінився описом через
поле швидкостей рідини, коли задається вираз для швидкості в кожній точці
потоку в будь-який момент часу. Проте, знаючи «рух», можна легко вирахувати
поле швидкостей, тоді як знання поля швидкостей не дозволяє явно обчислити
«Рух». Оскільки опис потоку через «рух» рідини є більш
фундаментальним, мої співробітники і я вважаємо за краще працювати, дотримуючись цієї
концепції, хоча багато хто може вважати її застарілою.
Рис 1. Хаотично і НЕХАОТІЧЕСКІЙ потоки. Знімки
отримані К. Ленг і автором статті в Массачусетсі університеті в Амхерсті.
Порожнина прямокутної форми заповнена гліцерином, безпосередньо під
поверхня якого були введені дві пробні краплі, флуоресціюючі червоним і
зеленим світлом (вгорі). Кожна стінка порожнини може незалежно від інших
переміщатися паралельно самій собі. У цьому експерименті верхня і нижня
стінки здійснювали періодичне переривисте рух.
Верхня стінка протягом деякого часу рухалася
зліва направо і потім зупинялася. У цей момент нижня стінка починала
рухатися з тією ж швидкістю справа наліво і рухалася стільки ж часу,
скільки верхня, завершуючи один період. Після 10 періодів (внизу) червона крапля
витягнулася і багаторазово зігнулася, утворивши складки: вона потрапила в область
хаотичного перемішування. Зелена крапля лише кілька витягнулася - це
«Острів» нехаотіческого перемішування.
В основі опису через «рух» лежить так
зване точкове перетворення - математична операція, переводить
кожну дану частку рідини в певну точку простору в деякий
момент часу в майбутньому. Таким чином, за допомогою цього перетворення кожна
частка переводиться в нове положення. Частинки, спочатку що знаходяться в
різних точках, ніколи не можуть одночасно займати одне і те ж положення, і
одна частка ніколи не може одночасно зайняти два положення (роздвоїтися).
Хоча теоретично такі точкові перетворення існують для будь-яких
перемішуючим потоків, явно знайти їх можна тільки для простих систем.
Тому багато чого з того, що відомо про перемішуванні, обмежено випадками
досить простих потоків, таких як прямолінійні потоки, в яких слід пробної
частинки залишається прямим. Потоки такого типу не можуть призводити до процесів,
забезпечує ефективне перемішування, оскільки воно обумовлено саме
криволінійність траєкторій частинок рідини. Щоб отримати уявлення про
цих процесах, необхідно розглянути стаціонарні двовимірні потоки.
Двовимірні потоки
Всі двовимірні потоки побудовані з однакових «блоків»,
пов'язаних з гіперболічними (сідловий) і еліптичними крапками (див. малюнок
4). До гіперболічної точці рідина рухається в одному напрямку, від неї - в
одним, а еліптичну точку рідина обтікає. (Слід згадати також точки
третього типу, які називають параболічними. У цих точках відбувається
зсувне, або Тангенціальне, перебіг, подібне, наприклад, течією рідини
уздовж твердої стінки. При описі механізму перемішування в двовимірних потоках
параболічними точками можна знехтувати.) Як можна було очікувати,
перемішування у стаціонарному двовимірному потоці менш ефективно в порівнянні з
перемішуванням в тривимірних потоках, особливо якщо останні нестаціонарних під
часу. Дійсно, в стаціонарному обмеженому двовимірному потоці є тільки
дві можливості: частки рідини або періодично проходять один і той же
шлях, що зветься лінією струму, або не рухаються зовсім.
Оскільки в стаціонарному потоці лінії струму фіксовані
і траєкторії частинок рідини ніколи не перетинаються, вони не можуть увійти до
контакт один з одним, тобто перемішатися. Чи існує який-небудь спосіб
уникнути обмежень, пов'язаних з необхідністю рухатися періодично по
одному і тому ж шляху уздовж лінії струму? Такий спосіб є. Для цього треба
змусити потік змінюватися з часом так, щоб лінії струму, відповідні
картинам течії в різні моменти часу, перетиналися.
Найпростіше цього можна досягти (і зробити
теоретичний аналіз), якщо потік буде періодично змінюватися в часі. Щоб
такий потік приводив до ефективного перемішування, необхідні періодично
повторювані витягування і вигини ділянок рідини і повернення їх у
початкове положення. Процедура витягування і освіти складок
відповідає так званої підковоподібної структурі, описаної С. Смейла з
Каліфорнійського університету в Берклі.
1 ПЕРІОД
3 ПЕРІОДУ
8
