Підводні камені математики

А. Барбараш

За оцінками вчених, практично використовується не більше 15% математичних розробок. Інакше кажучи, математики пішли далеко вперед у відношенню до реальних запитам науки і техніки. Вони створили формальний апарат, приблизно усемеро перевищує потреби сьогоднішньої науки та цивілізації в цілому. Цьому можна було б тільки радіти. Однак звуками фанфар часто заглушаються нерішуче висловлювалися, але дуже суттєві претензії користувачів математичного апарату. Розглянемо їх трохи докладніше.

Створивши математику для вирішення практичних завдань, люди, тим не менш, з самого початку перетворили її на суто теоретичну дисципліну, абстрагуються від другорядних деталей. Коли вирішувалося завдання про складання яблук, не враховувалося, чи всі вони стиглі, одного чи сорту і т.д. У задачі про басейн з трьома трубами нікого не цікавило, чи йде мова про гончарні трубах або про дерев'яні, оброблений басейн мармуром або вимощена грубим каменем. Такий підхід цілком логічний. Для початкового етапу розвитку наук він методологічно бездоганний. Але в міру переходу до усе більш великих завдань, такий підхід став перетворюватися на джерело грубих помилок.

Особливо трагічним виявилося частіших з'єднання математики з філософією. Математична ідеалізація торкнулася найважливіший діалектичний принцип філософії - перехід кількості в якість. Математика, часто-густо, ігнорує його.

Погляньмо, для прикладу, на один з найпростіших законів природознавства - закон Архімеда. Чи бачив хто-небудь математичний вираз цього закону, що враховує розмірний діапазон тел? Якщо вирішується завдання, буде Чи плавати якесь суцільне тіло, яке не має внутрішніх пустот, математика відповідає шляхом порівняння питомої ваги рідини і тіла. Формули говорять, що суцільна сталева болванка гарантовано потоне в воді.

Але можна порівняти цей результат з експериментом. Покладемо на спокійну поверхню води клаптик паперу, а на нього - тонку швейну голку. Тоді вийшов той голкою втопимо краю паперу і весь клаптик. Голка, що отримала від наших рук тонкий шар жиру, залишиться плавати на поверхні води, що утримується поверхневого натягу силами. Чисте застосування до цієї нагоди закону Архімеда виявилося некоректним. Така ж ситуація складеться, якщо взяти щіпку залізних тирси, розтерти їх між пальцями, і розсипати по спокійній водної поверхні - більша частина тирси залишиться плавати.

Подібні відхилення від математичних формул широко поширені. Можна вважати загальним правилом, що переважна більшість природничих законів має параметричної локальністю - вони справедливі лише в певних зонах параметрів, для яких, власне, і виведені. Ньютонівські закони механіки справедливі тільки при швидкостях тіл, неспівставних зі швидкістю світла. І навпаки, коли швидкості руху тіл наближаються до світлових, слід переходити від механіки Ньютона до перетворень Лоренца. Аналогічно, має параметричної локальністю і сфері дії квантової механіки - вона обмежена діапазоном атомних і молекулярних розмірів.

Природа, за висловом Яна Стюарта, "безжально нелінійна "[Stewart, 1989]. Багато природничі закони описуються нелінійними виразами. Непоодинокі випадки, коли закон лінеарізуется, тобто використовується лише у вузькому діапазоні параметрів, де можна знехтувати нелінійності. Наростання ж нелінійних відхилень біля кордонів "законною" зони параметрів - це звичайне явище, як для лінеарізованних, так і для нелінійно виражених законів. Відповідно, межі дозволеної зони параметрів майже завжди нечіткі, розмиті, і визначаються не дискретними відмітками, а зростанням похибок. Причиною відхилень зазвичай є вторгнення, наростаюче вплив нової закономірний-ності, якою можна було нехтувати в межах дозволеної зони параметрів.

Згаданий суто лінійний (здавалося б) закон Архімеда. Але жир від рук експериментатора, зробив поверхню голки несмачіваемой, до закону Архімеда додалися сили поверхневого натягу рідини, і ми отримали плаваючу монолітну сталеву деталь! Сили поверхневого натягу діють і на велику сталеву болванку, кинутий в воду, але при великих розмірах болванки впливом цих сил можна знехтувати - це інша сторона "Параметричної локальності" законів!

Непоодинокі ситуації, коли природничонауковий закон вдається використовувати лише у вкрай вузькій зоні параметрів. Наприклад, всі газові закони виявляються застосовні до пар по-ди лише значно вище критичної температури 374