Метод розрахунку скейлінгових констант Фейгенбаум для
одновимірних дискретних відображень по крапках надстійке циклів
Антон Никифоров
Нагадаю для початку деякі факти з теорії
універсальності Мітчелла Фейгенбаум. Будемо називати безперервне відображення
відрізка в себе унімодальному, якщо всередині відрізка є точка екстремуму і по обидва
сторони від неї відображення є строго монотонним (з однією з сторін
зростаючим, з іншого убуваючі). Умовимося далі розглядати тільки
унімодальне відображення виду
(1)
Якщо послідовність () при цьому r
складається з n точок, таку послідовність будемо називати n-циклом, що = f (), = f (), ..., = f () або. Зауважимо, що
похідна порядку n функції (n раз
обчисленої функції f (x)) в точці x за правилом диференціювання складної
функції дорівнює.
Точки циклу, що задовольняють співвідношенню
(2)
називаються нерухомими.
Величина (так
званий мультиплікатор) визначає стійкість n-циклу та її прийнято
називати стійкістю (stability, [2], p.121). n-цикл називається стійким,
якщо TD width = 10% style = 'width: 10.0%'
P style = 'margin-top: 6.0pt' FONT style = 'font-size: 14.0PT' FONT style = 'font-size: 12.0pt' (3)/FONT/FONT/P
/ TD
/ TR
/ TABLE
P style = 'margin-top: 6.0pt' Дане співвідношення зустрічається також і в наступній
запису:/P
TABLE border = 0 style = 'width: 100.0%'
TR
TD width = 90% style = 'width: 90.0%'
P style = 'margin-top: 6.0pt' FONT style = 'font-size: 14.0PT' FONT style = 'font-size: 12.0pt' IMG width = 145 height = 25 src = "http://images.km .ru/education/referats/img/43636 ~ 016.gif ", n>> 1
([1], стор 49),
(3.1)
Рис.1
Або в такому вигляді:
, (див. [2],
p.3),
Відстані від точки, де - точка
екстремуму розглянутого відображення (на рис 1. x = 1/2), до найближчої до неї
точки на - циклі підкоряються наступному співвідношенню:
,
n>> 1
(4)
Константи Фейгенбаум мають значення, і є
ні багато ні мало світовими транцедентнимі числами, такими як або e.
Казку про те, як Фейгенбаум сидів у тіні дерев і
знаходив їх на своєму калькуляторі HP-65 із золотистими кнопочками ви, напевно,
чули. Це було перше програмований калькулятор і коштував не багато не мало аж
400 (чотириста!) Доларів. Наївно думати, що своє дивне відкриття
Фейгенбаум зробив, користуючись виключно калькулятором: все-таки в той час
він працював у Лос-Аламосі, а у військових завжди були і будуть найпотужніші
комп'ютери у світі, проте відкриття дійсно було чудовим - які б
унімодальне відображення ми не розглядали, скейлінг для них (тобто
"чарівні" числа и) буде тим же
самим.
Алгоритм
Цікаво, що точки також можна
використовувати для розрахунку, цим факт ми
і будемо використовувати надалі. Звернемо увагу, що в точках мультиплікатор
завжди дорівнює
нуля, що автоматично означає стійкість цих циклів:
(a)
Наприклад, для циклу періоду два:
, де
, таким
чином
(5.1)
(б)
Цикл періоду чотири:
, де
, таким
чином
(5.2)
Для довільних ж-циклів
справедливо вираз:
(6)
Рівняння (5.3) легко вирішується відносно параметра, наприклад, з
допомогою методу послідовних ітерацій Ньютона:
(6.1)
Тут i - номер ітерації. Таким чином, весь процес
обчислення, скажімо, константи зводиться до
знаходження таких значень параметра R, при яких біфуркаційних діаграма
перетинає лінію. Для цього
необхідно розв'язати рівняння (6), проітеріровав його раз.
на вхід подається:
Починаємо ітеріровать функцію f cо наступного значення:
Ітеріруем похідну функції починаючи з
Початкові наближення двох значень параметра R:,
Розумне початкове наближення для постійної:
На виході отримують:
А весь процес може бути описаний наступними
виразами:
, n = 2,3,4, ...
, i = 0,1,2, ...
Розглянемо на прикладах як виглядають безпосередні
обчислювальні формули.
ПРИКЛАД 1:
При цьому значенні функція f буде залежати тільки від
константи r, позначимо цю функцію як. Тоді
попереднє рівняння можна буде переписати:
ПРИКЛАД 2:
ПРИКЛАД 3:
Програму розрахунку константи ви можете
знайти тут. Її легко модіціфіровать для розрахунку постійної, що
надається виконати читачеві. Результат розрахунку в залежності
від кроку i наводиться нижче.
i
1
6.9032539091 ...
2
4.7443094689 ...
3
4.6744478277 ...
4
4.6707911502 ...
5
4.6694616483 ...
6
4.6692658098 ...
...
...
11
4.66920173800930 ...
Список літератури
[1] Г. Шустер,
"Детермінований хаос. Вступ", М: Світ, 1988
[2] K. Briggs
"Feigenbaum Scaling in Discrete Dynamical Systems", PhD thesis, 1997
[3] Е. Б. Вул, Я. Г. Синай, К. М. Ханін,
"Універсальність Фейгенбаум і термодинамічний формалізм", УМН,
т.39, вип.3 (237), 1984
[4] М. Фейгенбаум, "Універсальність в поведінці
нелінійних систем ", УФН, т.141, вип.2, жовтень 1983
[5] Н. Н. Каліткін, "Чисельні методи",
М: Наука, 1978
[6] Метод Ньютона
