Визначення розмірності Хаусдорфа фракталов з
циклічно повторюваними структурами
С.С. Кубрін
Інститут "Гіпроуглеавтоматізація", Кемерово
Класично, в літературі опис фракталов
починається з прикладу тріадної кривий Гельгона фон Коха. Ця крива будується
Ітеративний. Побудова починається з прямолінійного відрізка одиничної довжини. На
перший крок вихідний відрізок замінюється чотирма довжиною кожен у 1/3 від довжини
початкового. Далі, операція повторюється з кожним знову отриманим відрізком.
Таким чином, отримують криву Коха різної детальності в залежності від числа
ітерацій. Коли число
ітерацій спрямовується до нескінченності () отримуємо
граничну криву (рис. 1).
Легко бачити, що довжина тріадної кривої Коха
визначається формулою і прагне до
нескінченності. Відповідно, розмірність Хаусдорфа даного фрактального
освіти визначається співвідношенням: (- число
елементів, --
відносний розмір елементів).
Для побудови кривої Коха, використовується тільки одна
структура. На жаль, такі фрактали в природі рідко зустрічаються. Частіше за все,
в побудові фракталов беруть участь декілька структур, що складаються з різного
числа елементів. Причому, розміри елементів структур також різні.
Розглянемо невеликий приклад. Нехай елементи кривої
(це, звичайно, буде вже не крива Коха) на першій ітерації діляться на три
елемента, на другому на чотири, в третьому на п'ять, у четвертому знову на три і
так Далі Змінити циклічно. А правило визначає розмір елементів залишається
тим же, що і для кривої Коха.
Тоді, на самому початку процесу довжина кривої
визначається як: де: - число
елементів, - довжина
елементу. На першому кроці (n = 1) довжина кривої та її форма не змінюються, (,).
Запишемо число елементів кривої та довжини елементів для
наступних декількох ітерацій. Так при:
n = 2,, n = 3,,
n = 4,, n = 5,,
n = 6,,
і відповідно для: n,,.
Отже, довжина кривої буде дорівнювати. Висловлюючи n
через довжину елементу () і застосовуючи
прямий і зворотний операції логарифмування маємо:
.
Рис.2. Вплив на розмірність Хаусдорфа числа структур
з різним
кількістю елементів (l = 1/10). У точці n = 1 k =
11.
Звідки фрактальна розмірність. У порівнянні
з кривою Коха у знову отриманої кривої розмірність Хаусдорфа менше, але довжина
її все ще не кінцева. Узагальнюючи отриманий результат, на довільне число
структур, формула для визначення розмірність Хаусдорфа при циклічному
структуроформірующем правилі набуде вигляду:
,
тут:
