Фрактали і автоколивання в геоморфосістемах
Ю.В. Лялін, А.В. Поздняков
Інститут оптичного моніторингу СО РАН, Томськ
Розвиток цілісних систем, незалежно від їх природи,
забезпечується за рахунок надходження енергії та речовини з середовища та виділення їх в
середовище. Динаміка різниці витрат речовини та енергії у цих двох потоках в
плин часу і визначає розвиток системи, а встановлення балансу речовини
і енергії на вході і виході системи характеризує її динамічно рівноважний
режим. Таким чином, формування, розвиток і самоорганізація цілісних систем
здійснюється через діалектичну взаємодію двох потоків речовини та
енергії протилежної спрямованості.
Потоки енергії та речовини, що формують природні
системи, названі [1, 2] F-потоками, а потоки, які викликають їх деградацію, --
D-потоками. Дія F-потоків, що формують систему, необоротно направлено до
зростання показників, що характеризують систему: розміри, об'єм, а дія D-потоків
призводить до їх зменшення [1, 2]. Величина D-потоку (витрата енергії і речовини в
ньому) монотонно залежить від параметрів системи: чим більше розміри системи,
що створюється внаслідок дії F-потоку, тим більше величина D-потоку, і
навпаки, зі зменшенням розмірів системи зменшується і величина D-потоку.
Зростання розмірів систем, у міру наближення до своїх
граничним характеристикам, асимптотично затухає, в силу того, що величина
витрати в D-потоці прагне до такої в F-потоці. Теоретично в остаточному варіанті
розвитку системи повинен встановлюватися баланс витрат речовини та енергії в
обох потоках, що характеризує стан динамічного (термодинамічного)
рівноваги, або граничного циклу системи. Практично ж, в силу постійно
мінливих умов равзітія системи і, отже, зміни витрат
речовини в F-і D-потоках, цей стан ніколи не досягається, за
об'єктивному прагненні до нього.
Фрактали в геоморфосістемах. У геоморфосістемах роль
F-потоку грає ендогенний потік речовини, що створює первинну похилу
поверхню. Вона піддається ерозійного розчленовування, в результаті чого
створюється екзогенний літопоток речовини (D-потік) і формуються схили другу
генерації. Ці схили знову розчленовуються, з утворенням схилів подальшої
генерації, і так далі. При цьому крутизна схилів наступної генерації зростає
наступним чином:
де a - крутість схилу; j - ухил тальвегу, базису
ерозії.
Оскільки рельєф у процесі ерозійного розчленовування
зберігає подібність, то його можна вважати фрактальних.
Розглянемо приклад геоморфологічного фрактального
множини. Його побудова починається з рівнобедреного трикутника з кутом при
підставі - це 0-е
покоління. Далі на кожній бічній стороні будується трикутник
з таким же кутом. У результаті виходить наступне покоління. При нескінченному
повторенні цього процесу отримаємо фрактальної безліч.
Важливою властивістю фрактальних множин є дробова
розмірність. За визначенням, розмірність Хаусдорфа дорівнює D = log (N)/log (f), де N
- Число частин, а f показує, у скільки разів ціле більше частини. Тому що при
побудові фрактальної поверхні рельєфу на кожному наступному кроці площа
трикутника, що характеризує поперечний переріз форми рельєфу, в 4 cos2 (
