Метод рішення рівнянь Ньютона - Рафсона
Метод Ньютона-Рафсона, також відомий як Метод
Ньютона, являє собою узагальнений метод пошуку кореня рівняння
(1)
Приймемо x = xj в якості j-го наближення до
кореня рівняння (1). Припустимо, що xj не є рішенням.
Отже,. Припустимо
також, що ми отримали розкладання в ряд Тейлора для рівняння (1) щодо
точки x = xj:
(2)
Якщо приймемо як наступного члена x = xj 1,
то рівняння (2) буде мати вигляд:
(3)
Тепер припустимо, що справедливо необов'язкове
допущення того, що попереднє наближення xj було
задовільним, так що xj 1 - xj мало. Якщо це
припущення вірне, ми можемо знехтувати членами вищого порядку в
рівнянні (3), так як n-я ступінь малої величини значно менше, ніж мала
величина для n> = 2. У цьому випадку рівняння (3) може бути апроксимувати
наступним чином:
(4)
Нашою метою є вибір такого xj 1,
щоб воно стало рішенням рівняння (1). Отже, якщо наше попереднє
припущення справедливе, xj 1 повинно бути вибрано таким, що. Прирівнявши
рівняння (4) до нуля і вирішивши щодо xj 1, отримаємо:
(5)
Рівняння (5) називається рівнянням Ньютона - Рафсона.
Якщо наше припущення, що призвело до висновку рівняння (5), справедливо, цей
алгоритм буде сходяться в одному, але тільки в тому випадку, якщо точка початкового
наближення досить близька до точки вирішення. Геометрична інтерпретація
сходив методу Ньютона - Рафсона наведена на рис. 1а.
а) метод сходиться
б) метод не сходиться
Рис.1. Геометрична інтерпретація методу Ньютона --
Рафсона
Однак, якщо точка початкового наближення далека від
точки рішення, то метод Ньютона - Рафсона може не збігатися зовсім.
Геометрична інтерпретація не сходив методу Ньютона - Рафсона наведена
на рис. 1б.
Алгоритм
Призначення: пошук рішення рівняння (1)
Вхід:
Початкове
наближення x0
Точність
(число ітерацій I)
Вихід:
xI
- Рішення рівняння (1)
Ініціалізація:
calculate f '(x0)
Кроки:
1. repeat:
2. calculate xi using (5)
3. let i = i +1
4. if i> I then break the cycle
end
of repeat
Модифікація алгоритму Ньютона для розв'язання системи
декількох рівнянь полягає в лінеаризації відповідних функцій багатьох
змінних, тобто апроксимації їх лінійною залежністю за допомогою приватних
похідних. Наприклад, для нульової ітерації у випадку системи двох рівнянь:
Щоб відшукати точку, відповідну кожної нової
ітерації, потрібно прирівняти обидва рівності нулю, тобто вирішити на кожному кроці
отриману систему лінійних рівнянь.
Список літератури
Для підготовки даної роботи були використані
матеріали з сайту http://www.xaoc.ru/
