Оточення і локалізація кореня нелінійної функції
дійсної змінної
Важливою проблемою пошуку кореня нелінійної функції
дійсної змінної є з'ясування інтервалу, на якому корінь
міститься. Нижче наведено алгоритм пошуку такого інтервалу і обмеження на його
застосування.
Будемо говорити, що корінь функції f (x) оточений на
інтервалі [a, b], якщо f (a) і f (b) мають протилежні знаки. Для того, щоб
оточений згідно з цим визначенням корінь дійсно існував на цьому
інтервалі, достатньо безперервності f (x), а для його єдиності - ще й
монотонності. При невиконанні цих властивостей можливо відсутність кореня на [a, b]
або невизначеність його позиції.
При використанні комп'ютера ми завжди маємо справу з
дискретним набором можливих представлень чисел (хоча й досить щільним).
Крім того, монотонність обчисленої функції може бути злегка порушена в
межах точності її обчислення. Це в ряді випадків ускладнює обчислення
оточених коренів функції, якщо до їх точності пред'являються завищені
вимоги.
Оточення кореня функції при гарантії її визначення на
необмеженому інтервалі, проводиться за наступним ітераційний алгоритм.
Алгоритм
Призначення: оточення кореня функції, якщо ф-я
визначена на необмеженому інтервалі
Вхід:
Початкове
наближення (input guess) x0
початковий
інтервал пошуку D
інкремент
початкового інтервалу пошуку d> 1
максимальне
значення інтервалу M
Вихід:
інтервал
оточення [a, x0], або
інтервал
оточення [x0, b], або
повідомлення про
помилку
Ініціалізація:
calculate f0 = f (x0)
Кроки:
1. calculate (a = x0-D, b = x0 + D;
fa = f (a), fb = f (b))
2. repeat
3.
increase search interval: D = D * d
4.
if search interval
