Парадокс Зенона

Рух неможливо. Зокрема, неможливо перетнути кімнату, тому що для цього потрібно спочатку перетнути половину кімнати, потім половину шляху, що залишився, потім половину того, що залишилося, потім половину залишився ...

Зенон Елейський належав до тієї грецької філософської школи, яка вчила, що будь-яка зміна у світі ілюзорно, а буття єдино і незмінно. Його парадокс (сформульований у вигляді чотирьох апорії (від грец. aporia «безвихідь»), породили з тих пір ще приблизно сорок різних варіантів) показує, що рух, зразок «видимого» зміни, логічно неможливо.

Більшості сучасних читачів парадокс Зенона знаком саме у наведеній вище формулюванні (її іноді називають дихотомією - від грец. dichotomia «поділ надвоє »). Щоб перетнути кімнату, спочатку потрібно подолати половину шляху. Але потім потрібно подолати половину того, що залишилося, потім половину того, що залишилося після цього, і так далі. Цей поділ навпіл триватиме до нескінченності, з чого робиться висновок, що вам ніколи не вдасться перетнути кімнату.

Апорія, відома під назвою Ахілл, ще більш вражаюча. Давньогрецький герой Ахілл збирається змагатися в бігу з черепахою. Якщо черепаха стартує трохи раніше Ахілла, то йому, щоб її наздогнати, спочатку потрібно добігти до місця її старту. Але до того моменту, як він туди дістанеться, черепаха проповзе деякий відстань, що потрібно буде подолати Ахілла, перш ніж наздогнати черепаху. Але за цей час черепаха уповзете вперед ще на деяку відстань. А оскільки число таких відрізків нескінченно, бистроногій Ахілл ніколи не дожене черепаху.

Ось ще один Апорія, словами Зенона:

Якщо щось рухається, то воно рухається або в тому місці, яке вона займає, або в тому місці, де його немає. Однак він не може рухатися в тому місці, яке воно займає (так як в кожний момент часу вона займає все це місце), але воно також не може рухатися і в тому місці, де його немає. Отже, рух неможливо.

Цей парадокс називається стріла (в кожний момент часу летить стріла займає місце, рівну їй по протяжності, отже вона не рухається).

Нарешті, є четверта Апорія, в якій мова йде про два рівних по довжині колонах людей, що рухаються паралельно з однаковою швидкістю в протилежних напрямках. Зенон стверджує, що час, за який колони пройдуть один мимо одного, складає половину часу, потрібного одній людині, щоб пройти мимо всієї колони.

З цих чотирьох апорії перші три найбільш відомі і найбільш парадоксальні. Четверта просто пов'язана з неправильним розумінням природи відносного руху.

Самий грубий і неізящний спосіб спростувати парадокс Зенона - це встати і перетнути кімнату, обігнати черепаху або випустити стрілу. Але це ніяк не торкнеться ходу його міркувань. Аж до XVII століття мислителі не могли знайти ключ до спростування його хитромудрої логіки. Проблема була дозволена тільки після того, як Ісаак Ньютон і Готфрід Лейбніц виклали ідею диференціального обчислення, яке оперує поняттям межа, після того, як стала зрозуміла різниця між розбиванням простору і розбиванням часу; нарешті, після того як навчилися звертатися з нескінченними і нескінченно малими величинами.

Візьмемо приклад з перетином кімнати. Дійсно, в кожній точці шляху вам треба пройти половину шляху, що залишився, але тільки на це вам знадобиться в два рази менше часу. Чим менший шлях залишилося пройти, тим менше часу на це знадобиться. Таким чином, обчислюючи час, потрібний для того, щоб перетнути кімнату, ми складаємо нескінченне число нескінченно малих інтервалів. Однак сума всіх цих інтервалів не нескінченна (інакше перетнути кімнату було б неможливо), а дорівнює деякому кінцевому числа - і тому ми можемо перетнути кімнату за кінцевий час.

Такий хід докази аналогічний знаходженню межі в диференціальній численні. Спробуємо пояснити ідею межі в термінах парадоксу Зенона. Якщо ми розділимо відстань, яку ми пройшли, перетинаючи кімнату, на час, який ми на це витратили, ми отримаємо середню швидкість проходження цього інтервалу. Але хоча і відстань, і час зменшуються (і в кінцевому рахунку прагнуть до нуля), їх ставлення може бути кінцевим - власне, це і є швидкість вашого руху. Коли і відстань, і час прагнуть до нуля, це ставлення називається межею швидкості. У своєму парадоксі Зенон помилково виходить з того, що, коли відстань прагне до нуля, час залишається тим самим.

Але моє улюблене спростування парадоксу Зенона пов'язано не з диференціальних обчисленням Ньютона, а з цитатою з скетчу «Другого міста», комедійного театру в моєму рідному Чикаго. У цьому скетчі лектор описує різні філософські проблеми. Дійшовши до парадоксу про Ахілла і черепахи, він виголошує наступне:

Але це ж просто смішно. Кожен сидить у цій кімнаті може виграти гонку з черепахою. Навіть такий старий і поважний філософ, як Бертран Рассел, - навіть він може обігнати черепаху. Але якщо він і не зможе перемогти її, він зможе її перехитрити!

По-моєму, непоганий підсумок усього сказаного вище.

Список літератури

Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту http://elementy.ru/